Kurt Gödel’in Eksiklik Teoremleri – Jon Charry 

Avusturyalı mantıkçı, matematikçi ve filozof Kurt Gödel^[i]’in (1906-1978) keşfettiği Gödel’in Eksiklik Teoremleri, mantıksal ve matematiksel akıl yürütmenin sınırlarına dair pek çok felsefi tartışmanın merkezini teşkil eder^[ii].

Bu makale, mevzubahis teoremleri tanıtmak ve onların önemini açıklamak için kaleme alınmıştır.

1. Teoremler ve Tamlık

Mantık terminolojisinde, belirli bir alan hakkında çıkarım yapmada kullanılan aksiyomlar ya da temel önermeler kümesine kuram denir. Örneğin kimya kuramları, kimyasalların karıştırıldıklarında nasıl tepki vereceğini öngörmek için —“kimya yasaları” denen— aksiyomları kullanır. Eksiklik Teoremleri, başka bir kuramdaki sınırlılıkları açığa çıkarır: aritmetik kuramlar. Bu kuramlar, sayılar hakkında 1 + 1 eşittir 2 cinsinden çıkarımlar yapmada aksiyomları kullanır.

İdeal bir durumda, bir kuram hem tam hem de tutarlı olacaktır. Aksiyomlarının bir çelişki^[iii] ispatlamada kullanılamadığı kuramlara tutarlı, alanındaki her doğru önermenin kendisi vasıtasıyla ispatlanabileceği kuramlara da tam denmektedir^[iv].

İlk teoremi^[v] verelim:

• (1.) Yeterince güçlü ve tutarlı hiçbir kuram tam değildir (yani eksiktir).

Gödel’in bu “yeterince güçlü^[vi]” aritmetik kuramlar, yani sayılar hakkında pek çok şey ispatlama yetisine sahip kuramlar, hakkındaki sezgisi; bu kuramların kendileri hakkındaki olguları da ispatlayabileceklerini söylüyordu. Gödel; ispatlanabilirlik —bir önermenin aksiyomlardan ispatlanıp ispatlanamaması— kavramının “1 + 1 = 2” gibi aritmetik önermelerle temsil edilebileceğini gösterdi. Bu temsil için Gödel Sayılaştırması’na^[vii] ihtiyacımız var.

2. Gödel Sayılaştırması

Aritmetik kuramlarla amaçlanan “1 + 1 = 2” gibi önermeleri ispatlamak olduğu için bu kuramların “‘1 + 1 = 2’yi ispatlayabilirim” gibi kuramın kendisi hakkında bir önermeyi ispatlamasını beklemeyiz. Bu ikinci önerme; sadece sayılar hakkında değil, kuramın kendisi hakkındaymış gibi de gözüküyor.

Ancak, zekice bir numara ile belirli bazı aritmetik ifadeleri, kuramın kendisi hakkındaki önermeler olarak yorumlayabiliriz. İşe bir Gödel Sayılaştırması belirleyerek başlıyoruz: kuramın her temel sembolüne farklı bir sayı (sembolün Gödel sayısı) atıyoruz. Bunu, “1 + 1 = 2” formülünü^[viii] kodlayarak anlatalım. Bu ifadede toplam dört farklı sembol var: (iki kere) “1”, “+”, “=“ ve “2”. Her birine farklı bir sayıyı şu tablodaki gibi atıyoruz:

İkinci satır için seçtiğimiz sayılar gerçekten rastgele^[ix]. Püf nokta, farklı sembollerin farklı Gödel sayısına sahip olması.

Şimdi “1 + 1 = 2” formülündeki her sembolün bir Gödel sayısı var, yani artık tüm formulü kodlayabiliriz. İfadede (tekrarlarla birlikte) beş sembol var, o yüzden aşağıda beş boş yer ayırıyoruz:

Şimdi bu boşlukları ilk beş asal sayı ile dolduruyoruz:

Sonra, bu sayıların, sırasıyla karşılık gelen sembolün Gödel sayısıncı kuvvetini alıyoruz ve tüm bu sayıları çarpıyoruz:

Bu sayı gerçekten çok büyük ancak hakikaten de 1 + 1 = 2 ifadesini biricik bir biçimde temsil ediyor^[x]. Yukardaki sayıyı 1 + 1 = 2 formülünün kodu olarak düşünebiliriz.  Gödel bu sayılaştırmayı, önermelerin kanıtları da dahil olmak üzere herhangi bir formüller toplamına biricik bir sayı atanabilecek biçimde genelleştirdi.

3. İspatlanabilirlik Yüklemi

p herhangi bir formül olsun. p’nin  Gödel sayısını G(p) ile göstereceğiz. Şimdi kuramımızın kendisi hakkında nasıl konuşabildiğini göreceğiz. Sayılar arasında ispatlanabilirlik bağıntısı diye adlandırdığımız Kanıtlar (x,y) bağıntısını şu şekilde tanımlıyoruz^[xi]:

• Kanıtlar (x,y) = _tanx, Gödel sayısı y olan formülün bir ispatının Gödel sayısıdır.

Eğer kuramımız yeterince iyiyse, hâlihazırda “1 + 1 = 2” gibi temel şeyleri ispatlayabiliyor demektir. Üstelik ispatlanabilirlik yüklemi aracılığıyla neleri ispatlayabileceği hakkında da konuşabilir: “1 + 1 = 2” formülünün ispatı muazzam büyüklükte bir sayı olacak, bu sayıya n diyelim. Yukarıda “1 + 1 = 2”yi nasıl 2³¹ × 3³⁵ × 5³¹ × 7³⁷ x 11³³ sayısı ile kodlayabileceğimizi göstermiştik, bu sayıya da kısaca m diyelim. Artık kuramımız “Kanıtlar (n, m)” ifadesini, yani “Ben ‘1 + 1 = 2’yi ispatlayabilirim”i^[xii], ispatlayabilir.

4. Gödel Cümlesi

Nihayet artık ispatlanamaz olan bir cümle, φ ile temsil edeceğimiz Gödel cümlesi, inşa edebiliriz. Ana fikir, meşhur yalancı cümlesini biraz modifiye etmek: “Bu cümle yanlıştır”^[xiii] yerine Gödel cümlemiz “Bu cümle

• φ =_tan ¬ ∃x (Kanıtlar (x,G(φ)).

ispatlanamazdır” diyecek. φ’yi şöyle tanımlıyoruz^[xiv]:

Yani φ, φ’nin (kendisinin) ispat edilemeyeceğini ifade ediyor. Varsayalım ki φ ispatlanabilir. Öyleyse, φ’nin ispatı olduğu için (çok büyük!) bir x sayısı, φ’nin ispatının Gödel sayısı olacaktır. Başka bir deyişle, “∃x (Kanıtlar (x, G (φ) )” formülü doğru. Ancak bu, φ’nin tam zıttı! Eğer kuramımız tutarlıysa, φ’yi en başta ispatlayamıyor olmamız gerekiyor [aksi halde çelişki elde ederiz!] φ’yi ispatlayamadığımıza göre, φ’nin ifade ettiği şey doğrudur^[xv].^[xvi]

5. İkinci Eksiklik Teoremi

Şimdi kendimizi İkinci Eksiklik Teoremi’nin doğruluğuna ikna edebiliriz:

• Yeterince güçlü hiçbir teori, kendi tutarlılığını ispat edemez.

Bir önceki bölümde,φ’nin ispatlanamaz olduğunu gösterirken kuramımızın tutarlı olduğu varsayımını kullandık. Eğer kuramımız kendi tutarlılığını kanıtlayabilseydi, bir kez daha Gödel sayılaştırmasını kullanarak, bir önceki bölümdeki düşünce akışını kodlayabilir ve (zaten bildiğimiz gibi) φ’nin ispatlanamaz olduğu sonucuna varırdı. Ancak bu, tam da φ’nin dediği gibi kuramın φ’yi ispatlaması anlamına gelir. Birinci Eksiklik Teoremi’nin ihlali anlamına gelen bu çıkarsamadan dolayı, kuramımız kendi tutarlılığını ispatlayamaz^[xvii].

6. Sonuç

Bir matematik kuramının, ne kadar iyi olursa olsun, ne kadar çok gerçeği söyleyebilirse söylesin, hiçbir zaman ispatlayamayacağı birtakım matematiksel olgular olacaktır. Gödel cümlesi bunlara bir örnek teşkil eder. İspatlanamayacak şeylerden biri de kuramın kendi tutarlılığıdır.

Gödel’in elde ettiği sonuçlar, erken 20. yüzyıl felsefe ve matematiğinin üç devinin umutlarını yerle yeksân etti: David Hilbert, Gottlob Frege ve Bertrand Russell^[xviii]. Bu isimler; matematiği, tüm matematiksel olguların dikkatlice inşa edilmiş bir kuramdan çıkarsanabileceği bir şekilde “özdevinirleştirmek” [İng. “automate”] istediler. Gelgelelim mevzubahis teoremler, bu umutları yıkıyor gibi gözüküyor.

Son yıllardaki tartışmalar, Gödel’in bu bulgularını insan zihnin özünde sadece karmaşık bir makine olup olmadığı sorusuna yanıt aramada kullanıyor. Mesela bazıları Gödel’in teoremlerinin bu soruya olumsuz bir cevap önerdiğini ve insan zihnin daima bir bilgisayardan üstün olacağını düşünüyor. Bu görüşe karşıt görüşlerle birlikte tartışmalar günümüzde hâlâ devam etmektedir^[xix].

Dipnotlar

• ^[i] İngilizcede <Grr-dle> [İngilizce okunuşla] olarak telaffuz edilir. [Türkçede ise <Göö-dıl> şeklinde.]
• ^[ii] Bu makalede kullanılan mantık notasyonu bazı okuyucular tarafından bilinmeyebilir. Bu durumda, öncesinde Timothy Eshing, “Formal Logic: Symbolizing Arguments in Quantificational or Predicate Logic [Formal mantık: Niceleme ve yüklem mantığında argümanları sembolize etmek]” ve Thomas Metcalf, “Modal Logic: Axioms and Systems for Alethic Modal Logic [Modal (kipsel) mantık: Gerçel modal mantık için aksiyom ve sistemler]” makalelerini okumak faydalı olacaktır. Bu makaleler, İngilizce ifadeleri mantık diline aktarmaya iyi bir giriş niteliğindedir. Bizim makalemizde kipsellikle (imkan ve zorunluluğun mantığı) işimiz pek olmasa da ikinci makale, kuramlara (oradaki adıyla sistemler) aşinalık için iyi bir makale. Ayrıca okurlarımızın Rebecca Goldstein’ın oldukça kolay okunan “Incompleteness [Eksiklik]” adlı Gödel biyografisini de incelemesi şiddetle tavsiye olunur.
• ^[iii] “P ve ¬P” türünden ifadelere çelişki diyoruz, mesela “Yağmur yağıyor ve yağmıyor.” Klasik mantıkta tutarsız kuramlar, istenmemeleri sebebiyle, kötüdür. Buna sebep de dışarı saçılma [explosion] ilkesidir: klasik mantığın bize sunduğu çıkarsama kurallarını kullanarak tutarsız bir kuramdan her ama her türlü önermeyi ispatlayabiliriz. Bu da kuramın, doğru olması muhtemel birtakım önermeleri ispatlayabilmesine ek olarak yanlış bazı önermeleri de ispatlaması demek olduğundan istenmeyen bir durumdur. Yani doğru önermeleri yanlışlar arasından eleyemeyiz, ki bu tam olarak bir kuram isteme sebebimiz: hangi önermelerin doğru olduğunu bize söylemesi! Dışarı saçılma ilkesinin geçerli olmadığı bazı klasik olmayan mantık türleri de vardır, detaylar için bk. (Priest, 2022).
• ^[iv] Tamlık için bir başka tanım: Herhangi bir önerme için, önermenin ya kendisi ya da değili kuramdan ispatlanabiliyorsa kuram tamdır diyoruz. Fark eden bir şey yok: Gödel teoremleri, yeterince güçlü hiçbir aritmetik kuramın (her iki tanımda da) tam olamayacağını ifade ediyor. Metindeki tamlık tanımda kullanılan “doğru” kavramının biraz daha teknik bir açıklaması için 12. nota bakabilirsiniz.
• ^[v] Aslında Gödel’in orijinal teoreminde kuramın, normal tutarlılıktan daha katı olan, omega-tutarlı olduğu varsayılıyor. Fakat teoremin burada ifade ettiğimiz hali de yanlış değil. J. Barkley Rosser, Gödel’in teoreminindeki omega-tutarlılık varsayımını normal tutarlılığa gevşeterek geliştirdiği için şöhret kazanmıştır. Bk.. Rosser’in orijinal makalesi (Rosser, 1936). Ayrıca daha fazla detay için bk. (Smith, 2013) ve (Smullyan, 1992).
• ^[vi] Burada “yeterince güçlü” ifadesinden ne kastedildiğini açıklamayacağız. Yazının amacı, aritmetikteki “pek çok” şeyi ispatlama gücüne sahip kuramlar için Eksiklik Teoremleri’nin nasıl işlediğini açıklamak. Tabii ki “1 + 1 = 2” gibisinden bir önermenin böylesi yeterince güçlü kuramlarca ispatlanmasını bekleriz. Bir mantıkçı “yeterince güçlü” ifadesini binbir şekilde tanımlayabilir ama herhalde en az teknik olanı şöyle: Bir kuram, makul bir şekilde aşikar 7 aksiyomdan oluşan Robinson aritmetiğini ispatlayabiliyorsa yeterince güçlüdür. Bu aksiyomlar bildiğimiz sayma sayıları [Türkçe literatürde doğal sayılar] (0, 1, 2, …) ve s adlı ardıl fonksiyonu ile ilgili temel özellikleri belirtir. Örneğin, aksiyomlardan biri 0’ın herhangi bir sayma sayısının ardılı olmadığını söyler (doğal olarak saymaya 0’dan başlıyoruz!). bu tanım bizi tam olarak tatmin etmese de, bizim için yeterince güçlü bir aritmetik teorisi aşağı yukarı böyle gözükmeli.
• ^[vii] İng. Gödel coding. [Çevirmen notu]
• ^[viii] İng. formula. Türkçeye tamdeyim ya da formül olarak çevrilen bu mantık terimi, formal dilin alfabesindeki sembollerleden oluşan ve formal dilin bir elemanı olan sonlu diziyi tanımlar (Bk. Wikipedia, “well-defined formula”). [Çevirmen notu]
• ^[ix] Yeterli yerimiz olsaydı, “her” anlamındaki ∀, “değil” anlamındaki ¬ gibi mantıkta kullanılan diğer geleneksel sembollere de Gödel sayısı atayabilirdik. Timothy Eshing’in yazdığı Formal Logic: Symbolizing Arguments in Quantificational or Predicate Logic [Formal Mantık: Niceleme ve yüklem mantığında argümanları sembolize etmek] bunlar gibi pek çok sembolü inceliyor.
• ^[x] Burada bahsetmediğimiz bir nüans var: Bu Gödel Sayılaştırması’yla kuramımızdaki her ifadeye biricik bir Gödel sayısı atayabiliriz, ancak bazı sayıların kodladığı bir ifade olmaması da ihtimal dahilindedir. Her sayının belirli bir ifadenin kodu olduğu farklı bir sayılaştırma da mümkündür. Detaylar için bk. (Smullyan, 1992, syf. 6). Bu bağlamda, Gödel sayılarının biricikliğini doğrulamak kolay. Şöyle ki, her ne zaman bir sayı gerçekten bir formülün Gödel sayısı ise o sayı biriciktir, yani o formülün Gödel sayısı olan başka bir sayı yoktur. Bu, her sayının biricik bir biçimde asal çarpanlarına ayrıldığını fark ederek gözlemlenebilir. Örneğin 12 sayısı (4 kere 3 = 12 olduğundan) 4 ve 3 olarak ayrılır; 4 de 2 ve 2 olarak ayrılır. 2 ve 3 daha da fazla bölünemezler çünkü bizzat kendileri asaldır. 12 dışında hiçbir sayı bu üç asala (2, bir 2 daha ve 3) ayrılamaz. Bu üç asal, tıpkı yukarıdaki büyük sayının “1 + 1 = 2” ifadesini biricik bir şekilde kodladığı gibi, 12 sayısını biricik biçimde kodlar. [Bk. Aritmetiğin Temel Teoremi.]
• ^[xi] Eşitlik altındaki “tan” (=_tan) ifadesi, burada bir tanım yaptığımızı belirtiyor. İngilizce matematik literatüründe definition sözcüğünün kısaltması olan “df” (=_df) ya da “:=“ notasyonu kullanılır. [Çevirmen notu]
• ^[xii] Burada hiç de gerçekçi olmayan bir şekilde kuramımız hakkında sanki insanmışçasına konuşuyoruz, ancak bu bir problem teşkil etmez. Bir kuramı, (gerçekten işe yarayacaksa,) “hedef alınan sistem” hakkında olgular saçan bir makine olarak düşünmekte fayda olabilir. Yeterince güçlü bir aritmetik kuramı, ifadeleri ve ispatlarını Gödel-kodlayarak kendisinin neyi ispatlayıp neyi ispatlayamayacağının “farkında” da olan bir makinedir.
• ^[xiii] Meşhur yalancı cümlesi şudur: “Bu cümle yanlıştır.” Eğer doğruysa, cümle yanlıştır. Eğer yanlışsa da cümle doğru olmalıdır. İşte bir paradoks. Bu konu hakkında çok daha fazlası için bk. (Beall, 2020). Gödel cümlesini yalancı cümlesiyle bağlantılı olarak düşünmek yararlı olsa da bu, kati bir bağlantı değildir; yalancı cümlesi doğruluk ve yanlışlıkla ilgilidir, ancak Gödel’inki ispatlanabilirlik —bir şeyin belirli bir kuram kullanılarak kanıtlanabilmesi veya kanıtlanamaması— hakkındadır.
• ^[xiv] Net konuşmak gerekirse, bu cümleyi sadece böyle olması için “tanımlıyor” değiliz. Benzer şekilde, aslında yukarıda yaptığımız gibi ispatlanabilirlik yüklemi olan Kanıtlar(x,y)’yi de biz “tanımlıyor” değiliz. Daha ziyade, önemli olan, tüm ifadelere belirli bir Gödel sayılaştırmasına göre kodlarını atadıktan sonra, [tanımladığımız] bu özelliklere sahip ifadeler olacağından emin olmamızdır; yani, gerçekten de Kanıtlar(x,y) gibi —sadece x, Gödel sayısı y olan bir ifadenin bir kanıtının Gödel sayısı olduğunda doğru olan— bir ifade ve sadece y’yi ispatlayan (Gödel sayısı x olan) bir kanıt olmadığında doğru olan φ benzeri bir ifade vardır. Burada, bu ifadelerin yeterince güçlü bir aritmetik kuramında her zaman var olduğunun özenli bir kanıtı olmaksızın, ifadeleri basitçe şu anda oldukları halde tanımladık.
• ^[xv] Bu noktada bir nüans var. Burada Gödel cümlesi doğrudur dediğimizde bir mantıksal doğruluktan (totoloji) yahut geçerli (her zaman doğru) olmasından bahsetmiyoruz. Gödel cümlesi (ve onun değili) ispatlanamaz olduğundan, kuramın, bu cümlenin doğru olduğu ve yanlış olduğu yorumları olacaktır. Ancak aritmetiğin “hedef sistemi”nde (yani standart sayma sayıları: 0, 1, 2, …) bu cümle doğrudur.
• ^[xvi] Benzer şekilde ¬φ de ispatlanamaz. Gödel cümlesinin değilinin neden ispatlanamaz olduğuna dair kabaca bir kanıt sunabilirdik. Ancak bu durumda elimizdeki kuramın sadece tutarlı olmasından daha güçlü bir varsayıma ihtiyacımız olacaktır, ki bu varsayıma omega-tutarlı adı verilir. Detaylar için okuyucuyu Smith, 2013) ve (Smullyan, 1992)’ye yönlendiriyoruz.
• ^[xvii] Burada atladığımız (ve bir tık daha) ileri derslerde işlenen iki detay daha var. İlk olarak, dikkat edin, öz-gönderim Birinci Teorem için önemlidir. Gödel cümlesi kendi ispatlanabilirliğine atıfta bulunur, tıpkı yalancı cümlesinin (11 no.lu dipnot) kendi doğruluğuna atıfta bulunması gibi. Aritmetik kuramların böylesi öz-gönderimli ifadelerde bulunabildiğinden emin olmamız için biraz daha çalışmamız lazım. İkinci olarak, aritmetik kuramlarının çok çeşitli ispat yüklemlerini tanımlayabildiğini göstermek mümkündür. Bunlardan bazıları için İkinci Teorem geçerli olmayacaktır. Neyse ki bunlar hakkında endişeye mahal yok; eğer bu yüklemlerin tam olarak nasıl davranacağına dair gayet makul duran (Hilbert-Bernays şartları olarak adlandırılan) birtakım kurallar öne sürersek, İkinci Eksiklik Teoremi bu tür ispatlanabilirlik yüklemlerinden çıkarsanacaktır. Ayrıntılar için bk. (Smith, 2013) ve (Smullyan, 1992).
• ^[xviii] Daha detaylı olarak: 1900 yılında matematikçi David Hilbert, o zamanki matematiksel düşüncenin temelinde olduğunu hissettiği 23 problem belirledi. Listedeki ikinci problem, matematikçileri o zamanın en güçlü aritmetik kuramlarının tutarlılığını ispatlamaya davet ediyordu. Benzer şekilde, mantıkçı-felsefeci Gottlob Frege ve Bertrand Russell, kabaca tüm matematiksel doğruların uygun bir kuramla ispatlanabilen önermelere indirgenebileceğini savunan, mantıkçılık adı verilen hareketin erken savunucularıydı. Bu iki projenin en büyük darbeyi, Gödel sonuçlarını paylaştığı zaman aldığından bahsedilir. Teoremlerin felsefi sonuçları hakkında daha fazla bilgi için bk. (Raatikainen, 2022).
• ^[xix] Bu tartışma hakkında çok daha fazlası için David Chalmers’ın “Minds, Machines, And Mathematics: A Review of Shadows of the Mind by Roger Penrose” [Akıllar, Makineler ve Matematik: Roger Penrose’un Zihnin Gölgeleri üzerine bir inceleme] adlı makalesine bakınız. Fizik Nobel ödüllü Roger Penrose’un argümanları Zihnin Gölgeleri adlı kitabında detaylıca yer alıyor. Benzer bir argüman çok daha öncesinde felsefeci J.R. Lucas’ın “Minds, Machines and Gödel” [Akıllar, Makineler ve Gödel] adlı makalesinde verilmişti. O günden beridir Gödel’in bulgularından esinlenen çok sayıda felsefi argüman var olagelmiştir.

Referanslar

• Beall, J. (2020). “Liar Paradox.” In E. Zalta (Ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2020 ed.).
• Chalmers, D. (1995). “Minds, Machines, And Mathematics: A Review of Shadows of the Mind by Roger Penrose”. PSYCHE: An Interdisciplinary Journal of Research On Consciousness, 2, 11-20.
• Gödel, K. (1992). On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems. Dover.
• Goldstein, R. (2005). Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel. W.W. Norton & Company.
• Lucas, J.R. (1961). “Minds, Machines and Gödel”. Philosophy, 36(137), 112-127.
• Penrose, R. (1994). Shadows of the Mind. Oxford University Press.
• Priest, G. (2022). “Paraconsistent Logic.” In E. Zalta (Ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2022 ed.).
• Raatikainen, P. (2022). “Gödel’s Incompleteness Theorems.” In Zalta (Ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2022 ed.).
• Rosser, J. Barkley. (1936).  “Extensions of some theorems of Gödel and Church”. Journal of Symbolic Logic, 1(3), 87–91.
• Smith, P. (2013). An Introduction to Gödel’s Theorems. Cambridge.
• Smullyan, R. (1992). Gödel’s Incompleteness Theorems. Oxford.

İlgili Diğer Yazılar

• Formal Logic: Symbolizing Arguments in Sentential Logic by Thomas Metcalf
• Formal Logic: Symbolizing Arguments in Quantificational or Predicate Logic by Timothy Eshing
• Modal Logic: Axioms and Systems for Alethic Modal Logic by Thomas Metcalf
• Gödel’s Incompleteness Theorems by Jon Charry

Jon Charry – “Kurt Gödel’s Incompleteness Theorems“, (Erişim Tarihi: 07.02.2025)

Çevirmen: Eren Uyanık

Editör: Emir Arıcı