Gödel, kuantum fiziği ve matematiğin öznelliği
David Lynch’in ikonik dizisi İkiz Tepeler’in Kara Kulübe’ye Giden Yol bölümünde Annie (Heather Graham tarafından canlandırılan) Dale Cooper’a (Kyle MacLachlan) büyük Alman fizikçi Werner Heisenberg’in ünlü bir sözünü okur: “Gözlemlediğimiz şey gerçekliğin kendisi değil, bizim sorgulama yöntemimize maruz kalan gerçekliktir.”
Bu alıntı, kuantum mekaniğinde sıklıkla “gözlemciye bağımlılık” olarak adlandırılan şeyi zarif bir şekilde özetlemektedir: Bir deneyi nasıl kurduğumuza bağlı olarak, kuantum gerçekliği kendini çeşitli şekillerde ortaya koyacak, farklı deneysel kurulumlar farklı, görünüşte çelişkili biçimleri ortaya çıkaracaktır. Örneğin, ünlü çift yarık deneyinde, yarıkların arkasına dedektör koymazsak elektronlar kendilerini dalga olarak gösterecek, ancak dedektör koyarsak bize parçacık olarak görünecektir. Dolayısıyla, deneysel protokol seçimimiz gözlemlediğimiz davranış biçimini etkiler. Bu da birinci şahıs bakış açısını modern fiziğin ayrılmaz bir parçası hâline getirmektedir.
Matematikte de birinci şahıs bakış açısına yer var mı?
İlk bakışta cevap “hayır” gibi görünüyor. Ne de olsa matematik, ünlü matematikçi David Hilbert’in deyimiyle “güvenilirlik ve doğruluk timsali” gibi görünmektedir. Matematik tüm bilimler arasında en nesnel olanıdır ve matematikçiler matematiksel gerçeklerin kesinliği ve zamansız doğasıyla gurur duyarlar. Gerçekten de, Leo Tolstoy doğmasaydı veya Anna Karenina‘yı yazmadan ölseydi, bu kitap var olmayacaktı; başka hiç kimse aynı romanı yazamayacaktı. Ancak Pisagor yaşamamış olsaydı, bir başkası aynı Pisagor teoremini keşfedecekti (ve aslında birçoğu keşfetti). Dahası, teoremi 2.500 yıl önce keşfettiğinde ne anlama geliyorsa bugün de herkes için aynı anlama geliyor ve bundan 2.500 yıl sonra da kültürleri, yetiştirilme tarzları, dinleri, cinsiyetleri veya ten renkleri ne olursa olsun herkes için aynı anlama geleceğine inanmak için her türlü neden var.
Şimdi, Pisagor teoremi dik üçgenler (dik açılı üçgenler olarak da bilinir, açılarından biri dik açıdır; yani 90 derece) hakkında belirli bir çerçevede – yani, düzlemde Öklidyen geometri (her yönde sonsuza kadar uzatılmış idealize edilmiş düz bir masa üstü düşünün; matematikçilerin “düzlem” dediği şey budur) geçerli olan matematiksel bir ifadedir. Buna göre x²+y²=z²’dir; burada x ve y dik açının iki kenarı, z ise karşı kenarıdır; buna hipotenüs denir.Ancak Pisagor teoremi Öklidyen olmayan geometri çerçevesinde doğru değildir.
“Öklidyen olmayan geometri” kelimeleri kulağa korkutucu gelebilir, ancak aslında bu çok gerçekçi bir şeydir. Gerçekten de Öklid dışı geometrinin bir örneği küre geometrisidir. Bir küre hayal edin. Küresel geometrisinde doğruların rolü, meridyenler veya ekvator gibi mümkün olan en büyük daireler tarafından oynanır. Bu nedenle, küresel geometride dik üçgenin bir benzeri, ikisinin dik açıyla kesişmesi koşuluyla, üç büyük çemberle sınırlanmış bir şekildir. Dünyanın kuzey kutbunu iki meridyen aracılığıyla ekvator üzerindeki iki noktaya bağlayarak ve daha sonra bu iki noktayı ekvatorun bir parçasıyla birleştirerek böyle bir üçgen oluşturalım. Ortaya çıkan üçgen aslında iki meridyen ve ekvatorun kesişme noktalarında iki dik açıya sahiptir. Dolayısıyla aynı uzunlukta iki “hipotenüs “e sahiptir, böylece y=z olur. Ve üçüncü kenar (ekvator boyunca giden kenar) sıfır olmayan bir x uzunluğuna sahip olduğundan, bilinen x²+y²=z² denklemi açıkça geçerli değildir. Böylece, Pisagor teoremi küre üzerindeki dik üçgenler için başarısız olur!
Burada neler oluyor? Bu soruyu yanıtlamak için, matematiksel bir teoremi kanıtlamanın ne anlama geldiğine daha yakından bakmamız gerekir. Bir teorem boşlukta var olmaz; matematikçilerin formal sistem dedikleri şeyin içinde var olur. Formal bir sistem, kendi biçimsel diliyle birlikte gelir; yani bir alfabe ve sözcükler topluluğunun yanı sıra, bu dilde anlamlı olduğu düşünülen cümleler kurmayı sağlayan bir gramer. Öklid geometrisi biçimsel bir sistem örneğidir. Dili “nokta” ve “doğru” gibi kelimeler ve “p noktası L doğrusuna aittir” gibi cümleler içerir.
Daha sonra, formal sistemimizin tüm cümleleri arasından geçerli ya da doğru olmasını şart koştuklarımızı ayırırız. Bunlar teoremlerdir. Bunlar iki adımda oluşturulur: İlk olarak, kanıt olmaksızın geçerli olduğunu beyan ettiğimiz başlangıç teoremlerini seçmemiz gerekir. Bunlara aksiyomlar denir ve tabiri caizse formal sistemin çekirdeğini oluştururlar. Bir yerden başlamak zorundayız! Örneğin, işte Öklid geometrisinin aksiyomlarından biri: “Eğer p ve q düzlemde iki farklı nokta ise, o zaman hem p’nin hem de q’nun ait olduğu tek bir L doğrusu vardır.” Mantıklı. Ancak Öklid geometrisinin formel sisteminde bu cümlenin bir kanıtını ararsanız bulamazsınız. Mesele şu ki, diğer aksiyomlarla birlikte bunu da kanıt olmaksızın geçerli kabul ediyoruz.
Bu da matematiğin tamamının bir bilgisayar tarafından yapılabileceği izlenimini yaratıyor. Ancak durum böyle değildir.
İkinci olarak, seçtiğimiz aksiyomlardan diğer geçerli cümleleri türetmek için mantıksal çıkarım kurallarını kullanırız; bu cümlelere formal sistemimizin teoremleri denir. Örneğin, “A” ve “A, B’yi gerektirir” cümlelerinin aksiyom olduğunu varsayalım. O zaman B cümlesi bu iki cümleden türetilmiş bir teoremdir. Ardından, eğer “B, C’yi gerektirir” de bir teorem ise (bir aksiyom olabilir veya daha önce aksiyomlardan türettiğimiz bir teorem olabilir), o zaman “C” de bir teoremdir ve bu böyle devam eder. Teoremleri bu şekilde üretmek, prensipte bir bilgisayara devredilebilecek, tamamen sözdizimsel (veya sembolik) manipülasyonun doğrusal, adım adım bir prosedürüdür.
Bu da matematiğin tamamının bir bilgisayar tarafından yapılabileceği izlenimini yaratıyor. Ancak durum böyle değildir. Aksiyomlar bir kez seçildikten sonra, formal sistemimizde bir teoremi neyin oluşturduğu konusunda hiçbir belirsizlik olmadığı doğrudur. Bu gerçekten de bir bilgisayarda programlanabilecek nesnel kısımdır. Ancak yine de aksiyomların seçilmesi gerekir ve bu seçim çok önemlidir. Örneğin, düzlemin Öklid geometrisi ile kürenin Öklidyen olmayan geometrisi beş aksiyomlarından sadece birinde farklılık gösterir; diğer dördü aynıdır. Ancak bu tek aksiyom (ünlü “Öklid’in beşinci postulatı”) her şeyi değiştirir. Öklid geometrisinin teoremleri Öklid dışı geometrinin teoremleri değildir ve bunun tersi de geçerlidir. (Eğlenceli bir bilgi: yaklaşık 2000 yıl boyunca matematikçiler Öklid geometrisinin beşinci aksiyomunu ilk dört aksiyomdan yola çıkarak kanıtlamaya çalıştılar – ancak 19. yüzyılda bunun imkansız olduğunu anladılar; aksine, aksiyomun yerine başka bir aksiyom konulabilir ve bu da yukarıda tartışılan Öklidyen olmayan geometriye yol açar).
Matematikçiler aksiyomlarını nasıl seçerler? Öklidyen ve Öklidyen olmayan geometri söz konusu olduğunda, cevap açıktır: tanımlamak istediğimiz şeye karşılık gelirler – eğer bu bir düzlemin geometrisiyse, o zaman birincisi; bir kürenin geometrisiyse, o zaman ikincisi. Ancak bu basitlik aldatıcıdır çünkü konu çok dardır. Matematik çok geniştir ve aksiyomların nasıl seçileceği sorusu, daha derine, matematiğin temellerine indiğimizde çok daha şiddetli hale gelir.
Son yüz yıldır matematik, küme teorisi üzerine kurulmuştur. Buradaki fikir, her matematiksel nesnenin bazı ek yapılarla donatılmış küme dediğimiz şey olduğudur. Örneğin, doğal sayılar kümesine sahibiz: 1,2,3,4,… toplama ve çarpma işlemleri ile donatılmıştır. Genel bir kümenin tam olarak ne olduğu matematikte hiçbir zaman düzgün bir şekilde tanımlanmamıştır. Küme teorisinin yaratıcısı Georg Cantor, aşağıdaki şiirsel tanımı yapmıştır: “Küme, kendisinin Bir olarak düşünülmesine izin veren bir Çokluktur.” Bu güzel bir tanımdır ve kümenin ne olduğuna dair sezgisel bir anlayış sağlar ancak kesin bir tanım olduğu söylenemez. Bununla birlikte, matematikteki her şey gibi, küme teorisi de belirli bir biçimsel sistem tarafından tanımlanır. Yaratıcıları Ernst Zermelo ve Abraham Fraenkel’in (bildiğim kadarıyla bir akrabalıkları yok) ve aksiyomlarından biri olan Seçim Aksiyomu’nun onuruna ZFC olarak adlandırılır. (Küme teorisi matematiğin tek temel sistemi değildir, ancak diğer sistemler de aşağıda anlattıklarıma benzer etkiler sergiler).
İşlerin karmaşıklaştığı yer burasıdır.
Günümüzde çoğu matematikçi ZFC’yi tüm matematiğin temelini oluşturan küme teorisinin formel sistemi olarak kabul etmektedir. Ancak kendilerine sonlular diyen küçük bir matematikçi azınlığı (belki de %1’den az) vardır. Bunlar ZFC’nin aksiyomlarından biri olan Sonsuzluk Aksiyomu’nu dahil etmeyi reddederler. Başka bir deyişle, çalıştıkları formel sistem, Sonsuzluk Aksiyomu olmaksızın ZFC’dir. Ben buna “ZFC lite sürüm” diyeceğim.
Sonsuzluk Aksiyomu, 1,2,3,4,… doğal sayılar kümesinin var olduğunu ifade eder. Bu, her doğal sayı için daha büyük bir sayı olduğu ifadesinden (“potansiyel sonsuzluk” olarak adlandırılır) çok daha güçlü bir ifadedir. Sonlucular doğal sayılar listesinin asla bitmeyeceğini kabul ederler, ancak herhangi bir zamanda kendilerini doğal sayılar kümesinin yalnızca sonlu alt kümelerini dikkate almakla sınırlarlar. Tüm doğal sayıların toplamının, bir kerede birlikte ele alındığında, gerçek olduğunu kabul etmeyi reddederler. Dolayısıyla, Sonsuzluk Aksiyomunu ZFC’den çıkarırlar.
Bu önemli mi? Evet! Bu aksiyomu kaldırdıkları için, sonlucuların kanıtlayabileceği daha az teorem vardır. Önemli ölçüde daha az. Hatta çok sevdikleri sonlu kümelerle ilgili bazı teoremleri bile kanıtlayamadıkları ortaya çıkmıştır. Başka bir deyişle, sonlu kümelerle ilgili bazı önermeleri kanıtlamak için sonlu kümeler dünyasından çıkmak, yani sonsuz kümelerin gerçekliğini kabul etmek gerektiği ortaya çıkıyor.
Kariyerine yeni başlayan genç bir matematikçi olduğunuzu varsayalım. Hangi formel sisteme bağlı kalmalısınız? ZFC mi yoksa “ZFC lite sürüm” (sonsuzluk olmaksızın) mı? Bu büyük bir soru! İşin aslı, çoğu matematikçi araştırmalarında sonsuzluğu çok fazla düşünmeden kullanır. ZFC’nin “Hüküm ve Koşulları Kabul Ediyorum” kutusunu, tabiri caizse, ince yazıları okumadan işaretlemektedirler.
Şöyle düşünebilirsiniz: Resmi sistemleri değerlendirebileceğimiz ve hangisini seçeceğimize karar verebileceğimiz bazı nesnel kriterler olmalı. Spoiler uyarısı: Yoktur.
Benim için hiç sorun değil. Sonsuzluğu seviyorum çünkü zaman ve mekânı aşan bir şeyi sembolize ediyor. Düşünüyorum da, matematikçi oldum çünkü günlük hayatın küçük ayrıntılarının çok ötesinde bir yerde bulunan saf Platonik formların dünyasını deneyimlemek istedim. Ve sonsuzluk beni bu tür bir deneyime götürüyor. Ancak “Gerçek olduğuna inanmam için bana sonsuzluğu göstermeniz gerekir” diyenlere de saygı duyuyorum. Ayrıca, size belirli bir sayıyı ya da belirli bir nesneyi gösterebildiğim gibi sonsuzluğu göstermek için kullanabileceğim bir numara olmadığını da biliyorum. Sonsuzluğun gerçekliği (ya da gerçek olmayışı) her birimizin kendi başına çözmesi gereken bir şeydir. Doğası gereği özneldir. Dolayısıyla, kişinin sonsuzluğu kullanmayı reddetme seçeneği vardır. Bana göre bu, Fransa’daki Oulipo edebiyat grubundan Fransız yazar George Perec’in romanını “e” harfini kullanmadan yazarken yaptığı şeye benziyor. Ben bunu özel bir sanat biçimi ama aynı zamanda kendi kendimize koyduğumuz bir sınırlama olarak da görüyorum.
Şöyle düşünebilirsiniz: Formel sistemleri değerlendirebileceğimiz ve hangisini seçeceğimize karar verebileceğimiz bazı nesnel kriterler olmalı. Spoiler uyarısı: Yoktur.
Bunu açıklamak için, formal bir sistemin hangi özelliklere sahip olmasını istediğimizi tartışalım. Bunlardan ilki ve en önemlisi tutarlılıktır, yani biçimsel sistemin aksiyomlarının birbiriyle çelişmemesi. Aksi takdirde, formal sistemimiz işe yaramaz hâle gelir, çünkü o zaman bu formal sistemin dilindeki her cümle bir teorem olur (her A cümlesi için “A değil” olumsuzlaması da dahil olmak üzere). Bunu kesinlikle istemiyoruz. İstediğimiz şey bazı cümleleri kanıtlayabilmektir – ama hepsini değil. Ancak Kurt Gödel’in İkinci Eksiklik Teoremi, yeterince sofistike bir biçimsel sistemin (ZFC veya “ZFC ışığı” gibi) kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağını belirtir. Prensip olarak.
Bir düşünün: matematikçiler bugün tüm matematiğin temeli olan ZFC’nin sağlam bir zemine oturup oturmadığını gerçekten bilmiyorlar. Ve büyük olasılıkla, asla bilemeyeceğiz. Neden mi? Çünkü Gödel’in İkinci Eksiklik Teoremi’ne göre, ZFC’nin tutarlılığını ancak daha fazla aksiyom ekleyerek ZFC’den elde edilen “daha büyük” bir formel sistemde kanıtlayabiliriz. Peki bu daha büyük biçimsel sistemin tutarlı olduğunu nereden biliyoruz? Bilmiyoruz. Ve eğer tutarlı değilse, o zaman ZFC’nin tutarlı olduğuna dair kanıtının hiçbir değeri yoktur çünkü bu daha büyük formel sistem onun olumsuzlamasını da kanıtlayabilecektir. Bu daha büyük biçimsel sistem kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağı için (yine Gödel’in teoremine göre), tutarlılığını kanıtlamanın tek yolu daha da büyük bir biçimsel sistem yaratmak ve böylece sonsuza kadar gitmek olacaktır.
Bu sadece bugün anladığımız şekliyle matematiğin tutarlılığına inanmamız gerektiğini ima etmekle kalmaz. Aynı zamanda, matematik yapmak için hangi aksiyomları seçmemiz gerektiğine dair nesnel bir kriter olmadığını da göstermektedir.
Peki o zaman, bu aksiyomları seçme yetkisine kim sahiptir?
Cevap sizi şaşırtabilir: Biz yapıyoruz – yaşayan, nefes alan matematikçiler. Başka hiç kimse bunu bizim için yapamaz. Pisagor, Öklid ya da Gödel bile. Onlar bize yolu gösterdiler ama artık bu bizim elimizde. Bu bizim seçimimiz, bizim özgür irademiz. Ve bunu her gün uyguluyoruz – özellikle de Sonsuzluk Aksiyomunu kabul ederek ya da reddederek.
Aksiyomlar için benim kriterim basittir: Bizi daha zengin, daha çeşitli, daha verimli matematiğe götürecek olanları seçiyorum (bu, filozof Penelope Maddy’nin savunduğu ve natüralizm olarak adlandırdığı pozisyona yakındır). İnsan neden kendini sınırlasın ki? İşte bu yüzden Sonsuzluk Aksiyomunu kabul ediyorum.
Belirli bir aksiyom kümesini seçme eylemi (ya da sanatı diyelim) kuantum fiziğinde belirli bir deneyi kurma eylemine benzer. Bunun doğasında bir seçim vardır ve gözlemciyi resmin içine sokar. Birinci şahıs bakış açısı ve onunla birlikte gelen özgürlük, matematikte hak ettiği yeri bu şekilde alır.
19. yüzyılın sonunda William James, çağının biliminin “kendi özünde ve en iç doğasında dünyamızın kesinlikle kişisel olmayan bir dünya olduğu” inancının “torunlarımızın kendi övündüğümüz bilimimizde en çok şaşıracakları kusur, onların gözünde onu perspektifsiz ve kısa gösterme eğiliminde olan ihmal” olacağını öngörmüştür. Yirminci yüzyılın fiziği ve matematiği onu haklı çıkarmıştır.
Edward Frenkel – California Üniversitesi Berkeley’de matematik profesörüdür ve 19 dile çevrilen uluslararası çok satan kitap ‘Aşk ve Matematik’in yazarıdır.
Edward Frenkel – “Maths, like quantum physics, has observer problems” (Erişim Tarihi: 28.05.22024)
Çevirmen: Gökcen Kartal
Çeviri Editörü: Emir Arıcı
