Mahkumun İkilemi ve Matematiğin Doğası – Ege Özmeral

Uyarı Notu: Bu makale genel okuyucu kitlesinden ziyade oyun teorisindeki kavramlara aşina olan kitle için yazılmıştır. Yazıyı okumadan önce Mahkumun İkilemi, oyun teorisinde kazanç ve rasyonalite, sonuç matrisi, Nash Dengesi, Pareto-optimalliği gibi kavramların araştırılması önerilir.

Kapının kilitli olmadığı ve içeriye doğru açıldığı bir odada, aklına kapıyı itmek yerine çekmek gelmeyen birisi odada kilitli kalmaya mahkumdur.

Ludwig Wittgenstein, Kültür Ve Değer (Bölüm 1, Madde 293)

Bu makalede, Mahkumun İkilemi (Mİ) (İng: Prisoner’s Dilemma) bağlamında baskın stratejinin ne olduğu konusundaki akademik anlaşmazlığın, oyun teorisinde kazanç ve rasyonalite kavramlarının bağlama dayalı kullanımının göz ardı edilmesinden kaynaklandığını savunacağım. Bunun yanı sıra oyun teorisini en temelde farklı yorumlara açık bir matematiksel çerçeve olarak ele almamız gerektiğini ve bu sayede hem paradoksun ortadan kalktığını hem de oyun teorisini gerçek senaryolarda nasıl uygulabileceğimizin netleştiğini savunacağım. Dolayısıyla ‘kazanç’ (İng: utility) ve ‘rasyonalite’ kavramları, sonuç matrisini (İng: payoff matrix) uyguladığımız senaryoya bağlı olarak uygun şekilde yorumlanabilir. Makalenin geri kalanında Mİ olarak kısalttığım Mahkumun İkilemi’nden söz ederken iki mahkumun itiraf veya inkar etmek seçenekleri arasında karar verdiği senaryodan değil, Şekil 1’de gösterilen sonuç matrisini kastedeceğim. Mahkumun İkilemi senaryosundan “Mİ senaryosu” ve paradokstan “Mİ paradoksu” olarak bahsedeceğim.

İddiayı daha iyi anlamak için klasik Mahkumun İkilemi senaryosunun bir versiyonunu ele alalım [1]. Mahkumlar Ali ve Beren’in —veya isimleri A ve B ile başlayan daha güzel isimlere sahip iki kişinin—her biri İtiraf veya İnkar seçeneklerinden birini seçebilir. İkisi de İnkar ı seçerse, her biri 5 yıl hapis cezasına çarptırılır. Biri İnkar ve diğeri İtiraf ı seçerse, İnkar ı seçen serbest kalırken İtiraf ı seçen 10 yıl hapis yatar. Eğer ikisi de İtiraf ı seçerse, her biri sadece 2 yıl hapis cezasına çarptırılır. Aşağıda bu senaryonun olası – makalede de ele alacağımız üzere tek olası değil – bir sonuç matrisi gösterilmektedir.

 Şimdi, bu senaryonun yanında aşağıdaki varsayımları kabul edelim:

1. Ali üreyebilme yetisine sahiptir.
2. Beren üreyemez (örneğin, çok yaşlı olduğu için).
3. Ali, Beren’in kayıp olan çocuğudur ve Beren bunu bilmektedir.

Bu varsayımlar altında, evrimsel bir perspektiften bakıldığında Beren’in İtiraf ı seçmesinin rasyonel olduğu öne sürülebilir. Çünkü Beren’in aksine Ali, genlerini sonraki nesillere aktarma potansiyeline sahiptir ve Ali ile Beren genetik olarak akraba oldukları için Beren, kendi hayatta kalmasından önce Ali’nin hayatta kalmasını göz önünde bulundurmalıdır. Evrim teorisinde bu tür fedakâr davranışlara akrabalar arası seçim denir. Bu mantık izlendiğinde, Beren’in için İnkar ın baskın stratejiyi temsil etmediği iddia edilebilir. Ancak oyun teorisi, Mİ bağlamında kazancı genetik hayatta kalma açısından tanımlamaz. Varsayalım ki Ali ve Beren’in tek amacı, Ali’nin hapiste en az süreyi geçirmesidir. kazancı arzular üzerinden tanımlarsak, yeni senaryonun sonuç matrisi aşağıda gösterilmektedir.

Bu durumda, Nash dengesi sağ üst köşede gerçekleşir: Ali İnkar, Beren İtiraf ı seçer ve Ali hapse girmezken Beren 10 sene yatar. Birisi şu soruyu sorabilir: Çocuğunuzun hapse girmemesi için 10 yıl hapis yatmayı kabul etmek gerçekten rasyonel bir seçim midir? İnkar ı seçerek Beren’in çocuğuyla temasta kalmasını ve ona hapishanede bakmasını sağlaması daha rasyonel olmaz mıydı? Oyun teorisi açısından bu tür sorular önemsizdir çünkü oyun teorisi bir matematiksel model olarak, rasyonelliğin ne olduğunu ya da bireylerin kararlarında neyi maksimize etmeye çalıştığını belirlemez. Bu nedenle oyun teorisinde oyuncular kârlarını, çıkarlarını, sağlıklarını değil, “kazanç” ı maksimize ederler çünkü “kazanç” daha geniş ve esnek bir kavramdır ve bu yüzden bağlama bağlı olarak farklı anlamlarda kullanılabilir.

Bu farkındalık, Nash Dengesi ile Pareto-optimalliği arasındaki gerilimi de çözer. Tekrar Mİ senaryosunu ele alalım ancak bu kez kazanç toplam hapiste kalma süresiyle belirlensin. Toplam hapiste kalma süresi arttıkça, oyuncuların tercihleri için atanan kazanç azalsın. Her iki oyuncunun da İtiraf ı seçtiği üst sol köşede toplam hapiste kalma süresi 4 yıldır (her biri 2 yıl). Diğer durumların tümünde toplam hapiste kalma süresi 10 yıldır. Ancak, eğer toplam hapiste kalma süresi aynı olsa bile, bir oyuncu için diğer oyuncunun 10 yıl hapiste kalması ve kendisinin özgür olması daha yüksek kazanca sahipse, ilgili sonuç matrisi aşağıda gösterildiği gibi olur.

Bu durumda, yalnızca bir tane değil, iki Nash dengesi vardır: Üst sol ve alt sağ köşeler. Dikkat edilirse, her ikisi de Pareto-optimaldir. Bu, kazancın bağlama bağlı kullanımının bu sorunu çözdüğünü gösterir çünkü tek seferlik Mİ senaryolarında bile iş birliğini yeniden değerlendirmeye olanak tanır.

Oyun teorisinde kazancı tanımlamak için şu ifade yeterlidir:

• Kazanç, rasyonel bir kişi tarafından maksimize edilmesi amaçlanan şeydir.

Bu tanım kendi başına çok şey söylemez çünkü “rasyonel kişi” henüz tanımlanmamıştır. Bunu tanımlamak için şu ifadeyi kabul edebiliriz:

• Rasyonel bir kişi, kazancını maksimize etmeyi amaçlayan kişidır.

Görebileceğiniz üzere bu tanımlar açıkça döngüseldir çünkü iki kavram da diğerini temel alarak tanımlanmıştır ve kavramları anlamlandırmamıza yardımcı olmazlar. İşte tam da bu nedenden dolayı Oyun Teorisi için yeterli tanımlardır. Bu kavramları senaryolar bağlamında anlamlandırırız ve farklı senaryolarda kişilar farklı hedefleri önceliklendirebilir; sonuç olarak kazanç ve rasyonalite yorumu bağlama bağlıdır. Bu gözlem, matematikçi ve ekonomist Ken Binmore tarafından da yapılmıştır [3]:

Bir rasyonel kişi, tanım gereği kazançsını maksimize eder. Eğer davranışı bu prensiple tutarsız görünüyorsa, ya tercihleri yanlış temsil edilmiştir ya da gözden kaçırılan kısıtlar altında hareket etmektedir.

Matematiksel bir çerçevenin—bir aksiyomatik sistemin—yorumuyla olan ilişkisini daha iyi anlamak için, Öklid-dışı geometrilerin hikâyesi oldukça aydınlatıcıdır. Ünlü eseri Elementler’de, Antik Yunan matematikçisi Öklid, geometri hakkında bildiğimiz her şeyi türetebileceğimiz beş postülat ortaya atmıştır. Bunlardan en tartışmalı olanı, Öklid’in Beşinci Postülatı olarak bilinir. İki boyutlu bir düzlemde bir doğru çizip, bu doğru üzerinde bulunmayan bir nokta belirleyelim. Beşinci postülat, bu noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan yalnızca bir tek doğru çizilebileceğini söyler. Bu postülat tartışmalıdır çünkü bazı matematikçiler, diğer postülatlar kadar zarif olmadığını düşünerek, onun diğerlerinden türetilebileceğini varsaymışlardır. Ancak, tüm çabalar başarısızlıkla sonuçlanmıştır. 19. yüzyılın başlarında, bu postülatı ispatlamak ya da çürütmek yerine, matematikçiler Öklid’in beşinci postülatından farklı varsayımlar benimseyerek yeni geometriler geliştirdiler. Örneğin, hiperbolik geometri içerisinde, verilen noktadan sonsuz sayıda paralel doğru çizilebilirken, eliptik geometri içerisinde böyle bir doğru hiç çizilemez. Buradaki temel fikir şudur:

• Ne kadar sezgilere aykırı görünürlerse görünsünler, bu geometrilerin geçerli olduğu modeller (yorumlar) bulunabilir.

Anlattıklarımızın bir gösterimi Şekil 4’te görülebilir. Eğer aksiyomlardaki ‘doğru’ kelimesini iki boyutlu bir düzlemdeki düz bir doğru olarak değil de bir kürenin üzerindeki bir eğri olarak yorumlarsak, iki paralel doğrunun çizilemeyeceğini söyleyen aksiyom sezgisel olarak doğru hale gelir. Benzer şekilde, eğer ‘doğru’ yu hiperbolik bir yüzeyde bir jeodezik olarak yorumlarsak, sonsuz sayıda paralel doğrunun çizilebileceğini belirten aksiyom da sezgisel olarak doğru hale gelir.

Matematik, katı (İng: rigorous) bir çalışma alanı haline geldikçe, bir aksiyomatik sistem ile onun yorumu (modeli) arasındaki ayrım daha netleşti. Günümüzde hiçbir matematikçi veya bilim insanı bir doğrunun ne olduğu ya da Öklidyen geometrinin doğru olup olmadığı konusunda tartışmaz çünkü bu ayrımın açıkça belirtilmesiyle bu kafa karışıklığı çözülmüştür. Ancak bazı oyun teorisyenleri ve diğer akademisyenler benzer bir kafa karışıklığıyla mücadele etmektedir. Oyun teorisinin aksiyomlarını farklı geometrilere benzetirsek, bu geometrileri uyguladığımız modeller davranışsal ekonomi ve doğal seçilimdeki senaryolar olarak görülebilir. Geometride doğrunun modele bağlı olması gibi fayda ve rasyonalite de senaryoya bağlı hale gelir. İki çalışma arasındaki benzerlikler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.

Makalenin geri kalanında bazı olası eleştirileri analiz edeceğim.

Örneğin, oyun teorisinin geometri gibi yalnızca matematiksel bir çerçeve olmadığını öne sürülebilir. Oyun teorisi, aynı zamanda matematiksel çerçevenin uygulamalarını da içeren geniş bir terimdir. Örneğin, fayda maksimizasyonu evrimsel bağlamlarda uyum maksimizasyonuyla ilişkilendirilebilir. Bu nedenle, John Maynard Smith ve George R. Price’ın çalışmalarını takip eden oyun teorisyenleri, evrimsel oyun teorisini (EOT) geliştirmiştir. Adının aksine EOT yalnızca doğal seçilimi varsaymaz, kültürel evrimi de kapsar. Ayrıca oyun teorisi matematiksel ekonominin de önemli bir yöntemidir. Fayda maksimizasyonu, kâr maksimizasyonu, riskten kaçınma ve sosyal refah ile ilişkilendirilebilir ve bireylerin rasyonel davrandığı varsayımı yaygındır. Bu nedenle, bir kişi, Mahkum İkilemi’nin (Mİ) bir matematik paradoksu değil, bilimin ve felsefede normatif çerçevenin paradoksu olduğunu iddia edebilir.

Öncelikle, ‘oyun teorisi’ ni geniş bir terim olarak kullanmanın yanlış bir tarafı yok ancak ‘oyun teorisi’nin farklı anlamlara sahip olabileceğinin de farkında olmamız gerekir. Bununla birlikte, oyun teorisinin matematiğin bir parçası olarak veya hayvanların ve insanların nasıl karar verdiklerini betimleyen/tahmin eden bilimsel bir teori olarak veya insanların nasıl karar vermesi gerektiğine dair normatif bir çerçeve olarak kullanımı arasındaki ayrımın açıkça belirtilmesi gerektiği gerçeğini değiştirmez.

İkinci olarak, Mİ bilimin bir paradoksu değildir çünkü uygun bir yorumu kabul ettiğimizde—örneğin, faydanın oyuncuların arzularını temsil ettiği ve rasyonaliteyi bu arzuları tatmin etme amacı olarak gördüğümüzde—oyun teorisi empirik bir teori haline gelir. Daha önce de belirtildiği gibi, akraba seçilimi bize canlıların akrabalarını kurtarmak için kendilerini feda edebileceğini göstermektedir. Bazıları oyun teorisinin ekonomideki bazı davranışları açıklamadığını da iddia edebilir [4][5]. Ancak bunlar paradoks değil, aksine oyun teorisinin empirik bir model olarak bazı davranışları açıklamada başarısız olduğunu gösterir. Mİ’ni bu nedenle bir paradoks olarak adlandırmak, Öklidyen geometriye göre iki paralel doğrunun asla kesişmediğini söylemesinin bir paradoks olduğunu iddia etmek gibidir çünkü gözlemlerimiz uzay-zamanın Öklidyen olmadığını göstermiştir. Fakat bu bir paradoks değildir, sadece Öklidyen geometrinin uzay-zamanı betimlemesi için uygun olmamasıdır.

Üçüncü olarak, Mİ felsefi bir paradoks da değildir çünkü oyun teorisi, matematiksel bir çerçeve olarak, tercihlerin nasıl olması gerektiğine dair normatif bir rehber sunmaz ve bencillik ile fedakârlık arasındaki tartışma bir paradoks değil, bir anlaşmazlıktır. Elbette, bu durum akademisyenlerin oyun teorisinin sonuçlarını kullanarak kendi görüşlerini savunmak için kullanmalarına engel teşkil etmez. Ayrıca, oyun teorisini bir bilim olarak düşünmek yaygın olsa da, onu saf bir matematiksel çerçeve olarak gören akademisyenler de vardır. Bunların en ünlüsü John von Neumann’dır. Von Neumann, oyun teorisini bir aksiyomatik sistem olarak formüle etti ve bu aksiyomlar, oyun teorisi altında incelenen tercihleri bir kazanç fonksiyonu (İng: utility function) ile temsil etmemize olanak tanır; başka bir deyişle, tercihin kazancı, kardinal veya ordinal sayılarla ifade edilebilir. Von Neumann’ın kendisinin de kabul ettiği gibi, gerçek hayattaki tercihler matematiksel modeller kadar katı değildir [6]. Benzer bir düşünce Binmore tarafından da dile getirilmiştir [7]:

Matematiksel teoremler totolojiktir. Yanlış olamazlar çünkü içeriksel hiçbir şey söylemezler. Sadece şeylerin nasıl tanımlandığının sonuçlarını açıklarlar. Oyun teorisinin temel önermeleri de tam olarak aynı karaktere sahiptir.

Eleştiriye yanıtımı özetlemek gerekirse, oyun teorisinin matematiksel bir çerçeveden daha geniş kullanım alanına sahip olması, farklı kullanımlar arasındaki ayrımın var olduğu ve bu ayrımın açıkça ifade edilmesinin Mİ paradoksunu çözdüğü gerçeğiyle çelişmez.

Önceki eleştiriyle bağlantılı bir diğer eleştiri de, oyun teorisini sadece bir matematiksel çerçeve olarak ele almanın Mİ paradoksunu çözemeyeceğidir çünkü matematiksel önermeler analitiktir, yani anlamları gereği doğrudurlar ve bu yüzden dünyaya dair bir şey söylemezler—tıpkı “bekâr, evli olmayan erkektir” önermesinin bekârlık hakkında yeni bir bilgi vermemesi gibi.

Bu eleştiri hatalıdır, çünkü matematiksel önermeleri analitik olarak kabul etmek, onların gerçeklikle ilgisiz olduğu veya gerçek hayattaki problemlerin doğasını aydınlatamayacağı anlamına gelmez. Çözülememiş bir matematik problemi olan iç kare problemi (İng: inscribed square problem) bunu görmemize yardımcı olabilir. Kendini kesmeyen kapalı bir eğri çizin; soru şudur: Eğri üzerinde her zaman dört köşe noktası bir kare oluşturacak şekilde bulunabilir mi? Bir gösterim Şekil 5’te görülebilir.

Bu hala çözülememiş bir problemdir ve bize matematiğin bizi hâlâ şaşırtabilecek sonuçlar doğurabileceğini gösterir. Dahası, oyun teorisinde bunun bir örneğini zaten görmekteyiz: halk teoremleri (İng: folk theorems). Orijinal halk teoremi, tek seferlik Mahkumlar Çıkmazı senaryolarının aksine, oyuncular yeterince sabırlıysa, herhangi bir uygulanabilir ve bireysel olarak rasyonel getirinin süresi belirli olmadan tekrar eden bir oyunda denge olarak sürdürülebileceğini belirtir. Mİ senaryosunda bu eğer oyun süresiz tekrarlanırsa, bir oyuncunun uygun bir strateji benimseyerek her iki oyuncunun da İtiraf stratejisini sürdürmesini sağlayabileceği anlamına gelir. Bu sonuç beklenmediktir çünkü tek seferlik Mahkum İkilemi’ndeki denge, uzun vadeli dengeden farklıdır. Binmore [2] bu durumu şöyle ifade eder: “Ama kim, 2+2=4 totolojisinin gerçek dünyaya dair hiçbir şey söylemediğini iddia edebilir?”

Bir başka eleştiri, bu ayrımı yapmanın paradoksu çözmediği çünkü Mİ’nin bir mantık paradoksu olduğu, başka bir deyişle, bunun matematiksel çerçeve içinde formüle edilebileceğini iddiasıdır. Bu eleştiriye göre, baskın strateji dengesi her iki mahkum için de en  optimal sonuç değildir ve bu oyun teorisinde nadir görülen bir durumdur. Oyun teorisine göre, iki rasyonel oyuncu (İnkar, İnkar) seçeneğini tercih etmeli ve böylece her ikisi de 5 yıl hapis cezası almalıdır, oysa (İtiraf, İtiraf) seçeneğini seçerek sadece 2 yıl hapis yatabilirler. Başka bir deyişle, Mİ paradoksu, ‘kazanç’ ve ‘rasyonalite’ kavramlarının belirli bir yorumu altında zaten formüle edilmiştir; ‘kazanç’ hapiste geçirilen süre ile belirlenir ve ‘rasyonalite’ bu süreyi en aza indirmek olarak kabul edilir.

Bu eleştirideki sorun, senaryonun sanki oyuncuların dört seçenek arasından karar verebileceği bir durum gibi anlatılmasıdır. Ancak oyuncuların gerçekte dört değil, iki seçeneği vardır: İtiraf veya İnkar. Bunu göz önünde bulundurduğumuzda, en rasyonel tercihin İnkar olması artık sezgisel olarak çelişkili görünmez. Diğer oyuncu ya İtiraf ya da İnkar ı seçebilir. Eğer o İnkar seçerse, İtiraf seçmek rasyoneldir, çünkü 2 yıl hapis yatmak yerine hiç yatmamış oluruz. Eğer o İnkar ı seçerse, yine İnkar ı seçmek rasyoneldir, çünkü 10 yıl hapis yatmak yerine 5 yıl yatarız. Böylece paradoks ortadan kalkar ancak unutulmamalıdır ki bu sonuca ulaşırken belirli bir yorumu benimsedik. Daha önce de belirttiğimiz üzere başka yorumlar altında İnkar da rasyonel bir seçenek olabilir.

Bir başka argüman ise, bir matematik teoremi olması, onun bir paradoks olmasını engellemez şeklinde olabilir. Örneğin, Banach-Tarski Paradoksu (BTP), Seçim Aksiyomu ile birlikte Zermelo-Fraenkel küme teorisinin (ZFC) bir teoremidir. Bu teorem, üç boyutlu uzaydaki katı bir kürenin sonlu sayıda parçaya bölünüp, bu parçaların yalnızca döndürme ve öteleme işlemleri kullanılarak iki özdeş küre oluşturacak şekilde birleştirilebileceğini söyler. Bu açıkça sezgilere aykırıdır, bu yüzden biri Mİ paradoksunun, oyun teorisinin farklı çerçeveleri arasındaki bir karışıklıktan değil, rasyonalite hakkındaki sezgilerimize meydan okumasından kaynaklandığını iddia edebilir.

Ayrıntılara girmeden, ZFC’nin her zaman sezgilerimizle ve gerçek hayat örnekleriyle tam uyum sağlayan bir matematiksel çerçeve olmadığını söyleyebiliriz çünkü ya bir varsayım belirli bir uygulama için uygun değildir ya da teorinin belirli bir yorum altındaki bazı ifadeleri hatalıdır. BTP’de küreyi böldüğümüz “parçalar” bir hacme sahip değildir, dolayısıyla bunları bildiğimiz anlamda katı parçalarmış gibi yorumlamak mümkün değildir.

Bunu iyi bir şekilde açıklayan bir örnek fizikçi Richard Feynman’dan gelir. Eminim Şaka Yapıyorsunuz Bay Feynman adlı kitabında, bu paradoksun alternatif bir biçimiyle karşılaştığını anlatır. Hikâyede, bazı matematikçiler ona, bir portakalı sonlu sayıda parçaya keserek, tekrar bir araya getirdiğimizde Güneş kadar büyük bir küre elde edebileceğimizi söylerler. Ancak Feynman, burada hatalı varsayımı ortaya çıkarır: süreklilik. “Ama portakal dediniz! Portakal kabuğunu atomlardan daha ince kesemezsiniz.” diyerek yanıt verir.

Benzer bir şekilde, oyun teorisindeki Mİ’deki Nash Dengesi’nin sezgilere aykırı olduğu çünkü oyunu bir arkadaşımızla oynadığımızda onun faydasını da önemsediğimiz öne sürülebilir. Ancak, bu görünen paradoks iki farklı yaklaşımla çözülebilir. Birinci yaklaşım, Mİ’deki kazancın senaryoyu doğru bir şekilde temsil etmediğini söylemektir; çünkü oyuncuların tek önemsediği şey hapis süresi değil, aynı zamanda arkadaşlarının refahıdır ve bu, sonuç matrisini değiştirir. İkinci yaklaşım ise, oyun teorisinin matematiksel bir çerçeve olarak güven, sosyal normlar gibi faktörleri içermediği ve dolayısıyla rasyonel kararın ne olduğuna yalnızca oyun teorisiyle karar veremeyeceğimizdir. Bu nedenle, aksiyomatik bir sistem ile onun uygulaması arasındaki kavramsal ayrımı dikkatlice ele alarak bu karışıklık ortadan kaldırılabilir. Asıl mesele, matematiksel ifadelerin her zaman gerçek dünya hakkında bir şeyler söylediği varsayımında bulunmamızdır. Ancak, matematiğin aksiyomatik ve yoruma açık doğası, bunun her zaman böyle olmak zorunda olmadığını gösterir.

Bu makalede, Mahkumun İkilemi’nin aslında bir paradoks olmadığını savundum. Oyun teorisinin bir matematiksel çerçeve olarak ele alınması, kazanç ve rasyonaliteyi bağlam bağımlı kavramlar olarak görmemizi sağlar ve bu da paradoksu ortadan kaldırır. Oyun teorisi, gerçek dünyadaki karar alma süreçlerini idealize eden bir araçtır ve matematiksel doğası, onun farklı bağlamlara uygun şekilde yorumlanmasına imkân tanır.

Kaynakça

1. Poundstone, W. (1993). Prisoner’s dilemma: John von Neumann, game theory, and the puzzle of the bomb. Doubleday.
2. Binmore, K. (1998). Why all the fuss? The many aspects of the Prisoner’s Dilemma. In P. Hammerstein (Ed.), Genetic and cultural evolution of cooperation (pp. 21–46). MIT Press.
3. Binmore, K. (2009). Rational decisions. Princeton University Press.
4. Gintis, H. (2009). The bounds of reason: Game theory and the unification of the behavioral sciences. Princeton University Press.
5. Thaler, R. H. (2015). Misbehaving: The making of behavioral economics. W.W. Norton & Company.
6. von Neumann, J., & Morgenstern, O. (1944). Theory of games and economic behavior. Princeton University Press.
7. Binmore, K. (1994). Game theory and the social contract, volume 1: Playing fair. MIT Press.