Aksiyomatik Sistemlere Giriş – Mehmet Mirioğlu

Kaybolan bir çocuğun kendisine sorulan “Evin nerede?” sorusuna “Parkın karşısında”, “Park Nerede?” sorusuna “Evimizin karşısında” cevabını vermesi gibi bize asla bilgi vermeyen ve dolayısıyla “Petitio Principii” adlı mantıksal safsataya giren döngüsel akıl yürütmeler, kendi kendilerini ürettikleri için problemlidir. “Dünya öküzün boynuzları üzerinde, öküz kaplumbağanın üzerinde ve o kaplumbağalar sonsuza kadar bir başka kaplumbağanın üzerinde” gibi sonsuza kadar geriye giden ve dolayısıyla asla bir sonuca ulaşmamızı sağlamayan, Argumentum ad Infinitum mantıksal safsatasına giren, sonsuz geriye giden akıl yürütmeler de bir sonuca varmamızı engellediği için sorun yaratmaktadır. Belli önermelerin koşulsuz kabul edilip geriye kalan tüm bilgilerin o kabullerden çıkarsanması gerektiğini söyleyen aksiyomatik sistemlerin en büyük problemi ise doğa bilimlerine uygulanabilirlik veya birbiriyle çelişebilen kabuller arasından tercihin nasıl yapılacağı sorunudur. Fakat bu sistemin doğa bilimleriyle birebir uyuşma derdi gütmeyen ve çelişkili kabullerle de iş yapmayı sorun olarak görmeyen matematik ve mantık sistemleri için ideal olduğu gözler önündedir. Örneğin Öklid Aksiyomları ile non-öklidyen geometrilerin aksiyomlarındaki 5. aksiyom olan paralellik aksiyomu aynı anda kabul edilememesine rağmen matematikçilerin her iki sistemi farklı problemler için kullanması onlar için sorun teşkil etmemektedir.

Aksiyomatik sistemlerin çeşitli kabul önermelerini içinde barındırdığı ve matematik ile mantığın temelini attığından bahsettikten sonra mantık alanının neden ortaya çıktığından da biraz bahsetmek gerekmektedir. Çünkü mantık, ilk ortaya atıldığı dönemlerden beri önermeler arasındaki bağlantıları daha iyi görmemizi ve akıl yürütmelerimizdeki hataların daha kolay saptanabilmesini sağlamaktadır. Elbette kuantum mantığı ya da bulanık mantık gibi çeşitli mantık türleri yapay zeka algoritmalarını yazarken kullanılmakta ya da zaman mantığı kaos kuramında kullanılmakta ve bu sebeple mantığın tek ve biricik işlevi akıl yürütmelerin niteliğini değerlendirme olarak görülmemelidir. Buna rağmen tüm mantık sistemleri günlük dili sembolleştirme ve argümanların yapısına bu sembolleri hangi kurallarla işleyeceğimizi açıklama girişimindedir.

Günlük dili semboller ve bağıntılara indirgemeye çalışan formal mantık sistemlerinin başında Aristo’nun tasım mantığı gelmektedir. Fakat tasım mantığı, günlük dilde “en az bir” ya da “tüm” gibi bağlaçları gösterecek sembolleştirme imkânlarına sahip olmadığı için yetersiz kalmıştır ve bu durum birinci dereceden mantığın temellerini atmıştır. Birinci dereceden mantık ise zorunluluk, imkân dâhilinde olma ve imkânsızlık içeren önermeler arasında bağlantıyı inşa etmede yetersiz kalmış ve bu durum modal mantığın doğmasına sebep olmuştur. Modal mantık ise geçmiş, şimdi ve gelecek arasındaki bağlantıları sembolleştirememiş, bu durum zaman mantığının doğmasını sağlamıştır. Kısaca neredeyse her mantık sisteminin ortaya çıkma sebebi günlük dilde kullandığımız ve genelleştirebileceğimiz kimi durum ya da ifadelerin sembolleştirilmesinin eksikliğinden kaynaklanmaktadır. En temelde günlük hayatta kullanımımıza karşılık gelen sembollerin tanımlarını yapıp bu sembolizasyonların arasındaki ilişkiyi “doğrudan kabul ederek” yola başlayan mantıksal sistemler, doğası gereği aksiyomatiktir. Çünkü bahsettiğimiz gibi aksiyomatik sistemler birtakım önermeleri doğru kabul ederek başlanan sistemlerin genel adıdır. Mantık biliminin günlük hayattaki ifadeler arasındaki bağlantılar da bu kabullerin bir örneğidir.

Buna benzer şekilde modern matematiğin tamamı “Peano Aksiyomları”, “ZFC Kümeler Kuramı Aksiyomları” gibi aksiyomatik sistemlerden ibarettir. Öklid’in kendi geometrisini beş temel aksiyoma indirgemesinden bu yana matematiğin kendisi bu şekilde gerçekleştirilmeye başlanmıştır. Hatta matematiğin tanımı bile şöyle güncellenebilir: “Matematik, birtakım önermelerin aksiyom olarak kabul edildikten sonra çıkarım yapma işlemidir.” Lakin bu yapılar hakkında daha iyi konuşabilmek için aksiyomatik sistemlerin ne gibi özelliklere sahip olması gerektiği tartışılmalıdır.

Aksiyomatik Sistemlerin Genel Özellikleri

Giriş kısmında aksiyomatik sistemlerin tanımını yüzeysel bir şekilde yapmıştık. Fakat bir aksiyomatik sistemi inceleyeceksek öncelikle bu sistemin özelliklerinden genel olarak bahsetmemiz gerekmektedir. Her ne kadar aksiyomatik sistemler, teoriler ve modeller arasındaki bağlantıyı iyi bir şekilde açıklayan Model Teorisi hâlihazırda inşa edilmiş olsa da bu yazıda aksiyomatik sistemlerin sadece bir özelliğini model teorisinin teoremlerinden yola çıkarmak temellendireceğiz. Geriye kalan özelliklere matematikte, doğa bilimlerinde ve beşeri bilimlerde kullanılan bazı aksiyomatik sistemler incelenerek ulaşılacaktır.

Aksiyomatik sistemler daha önce de değindiğimiz gibi belirli önermeleri koşulsuz kabul edip bu kabullerden çeşitli yeni önermelere çıkan ve bir tür model yorumu olan sistemlerdir. Buna rağmen bahsedilen koşulsuz kabullerin arkasında sürekli bir motivasyon olacaktır. Keşfetmemiz gereken ana özellikler de bu motivasyonları genelleştirmektir. Örneğin Dedekind, aksiyomatik sistemini kurarken gerçek sayıları inşa etme motivasyonuyla bu eylemi gerçekleştirmişken, Peano’nun aksiyomatik sistem motivasyonu doğal sayıları inşa etmektedir. Bu noktada Zermelo-Fraenkel küme kuramının aksiyomlarını (ZFC Aksiyomları) inceleyerek bu bahsedilen birincil motivasyonu genelleştirebiliriz. ZFC Aksiyomları aşağıdaki gibidir:

1. Boş Küme Aksiyomu: Elemanı olmayan bir küme vardır.
2. Genişletilebilirlik Aksiyomu: İki kümenin tüm elemanları aynıysa bu iki küme birbirine eşittir.
3. Eşleştirme Aksiyomu: Herhangi bir x ve y kümeleri için x ve y’yi eleman olarak barındıran bir z kümesi vardır.
4. Birleştirme Aksiyomu: Herhangi bir x kümesi için tam olarak x’in elemanlarının elemanlarından oluşan bir y kümesi vardır.
5. Kuvvet Kümesi Aksiyomu: Herhangi bir x kümesi için x’in tüm alt kümelerinden oluşan bir y kümesi vardır.
6. Ayrışma Aksiyomu: F(z,p) küme kuramı dilince z ve p olmak üzere iki değişkene sahip formül olsun. Herhangi bir p ve x için F( ^. ,p) özelliğini sağlayan x elemanlarından oluşan bir y kümesi vardır.
7. Seçim Aksiyomu: Tüm I kümeleri ve A_i  ≠ {} olmak üzere tüm {A_i }_i∈I indeksli sistem kümeleri için tüm A_i kümelerinin çarpımı boş küme değildir.
8. Kuruluş Aksiyomu: Boş olmayan herhangi bir S kümesi için S’nin elemanlarından olup S’den ayrık en az bir eleman vardır.
9. Sonsuzluk Aksiyomu: İndüktif bir küme vardır.
10. Yer Değiştirme Aksiyomu: F(x,y) küme kuramı dilinde iki değişkenli bir formül olsun. F(x,y) şeklinde sembolleştirmek üzere her x için biricik bir y varsa Her A için bir B vardır ki ancak ve ancak B’den alınan her y elemanı için F(x,y) formülünü verecek şekilde A’dan alınan en az bir x elemanı varsa. (Kunen, 2003)

Sıraladığımız tüm ZFC aksiyomlarını incelemek yerine, genel olarak bu aksiyomlardan varmak istediğimiz sonuca birkaç aksiyomun neden orada bulunduğunu sorgulayarak ulaşabiliriz. ZFC aksiyomları temellendirilirken neden boş küme aksiyomu inşa edilmiştir? Bunun sebebi boş kümenin, kümeler kuramı için vazgeçilmez bir temel olmasından kaynaklanmıştır. Doğal sayılar gibi sonsuz bir kümenin varlığından bahsetmek istiyorsak öncelikle sonsuz kümeyi inşa edebilecek bir aksiyoma ihtiyaç duyarız ki dokuzuncu aksiyomun ZFC aksiyomlarında bulunmasının arkasındaki motivasyon budur. ZFC aksiyomları detaylı incelendiğinde her birinin kümelerle ilgili teoremlerin temelinde yatan önermeler olduğu görülecektir. Örneğin “Elemanı olmayan tüm kümeler birbirine eşittir.” önermesiyle ifade edilen “Boş Küme Biricikliği Teoremi” birinci ve ikinci önerme kabul edilmeden oluşturulamaz. Doğal sayılar teoremi sonsuzluk aksiyomu olmadan inşa edilemez. Kısaca ZFC argümanlarından öğrenebildiğimiz en önemli özelliklerden biri aksiyomların, kurulacak sistem içerisindeki daha komplike önermelerin temelinde yatan atom önermeler olması gerektiğidir. O halde aksiyomatik sisteme dair söyleyebileceğimiz ilk özelliği, “Eğer kurulacak sistemin argümantatif yapısında kabul edilen önermeler ve bağlantılar, kurulacak matematiksel yahut mantıksal modelin yapıtaşı ise bu önerme ve bağlantılar aksiyomatik sistemin önermelerinde bulunmalıdır.” şeklinde özetleyebileceğimiz bir özelliktir.

Bahsettiğimiz sistemlerin genel özelliklerine dair sıralayacağımız ikinci özellik kendi de matematiksel bir yapı olan Model Teorisi’nin teoremlerinden gelmektedir. Teoriler ve modeller arasındaki bağlantıyı mantıksal dizgelerle temellendiren model teorisi, şu an informal şekilde tarif ettiğimiz özelliklerin daha detaylı halini formal şekilde tarif etmeye çalışmaktadır. Model teorisinde aksiyomatikleştirmenin tanımını yapmadan önce tümdengelimsel kapanma (deductive closure) tanımı yapılmalıdır. Bu kuramda, bir T teorisinin tümdengelimsel kapanması “T’den formal olarak çıkarsanabilen tüm önermeler kümesi” olarak tanımlanmaktadır. Yani T teorisi içerisinde kabul edilen önermelerden, yapılan tanımlardan, önermeler ve tanımlar arasındaki bağlantılardan, kabul edilen önermelerle inşa edilen teoremlerden ve teoremlerle inşa edilen teoremlerden ve geriye kalan tüm ifadelerden oluşan küme T teorisinin tümdengelimsel kapanmasıdır. Bu sistemde T teorisinin tümdengelimsel kapanmasını veren en küçük önermeler kümesi ise aksiyomatikleştirme olarak tanımlanır. Buradan yola çıkarak aksiyomatikleştirmenin yeni bir özelliğine ulaşabiliriz: Eğer elde edilen önermeler kümesinde herhangi bir önerme diğer önermelerden argümantatif yolla ulaşılabiliyorsa o önerme aksiyom değildir. ZFC aksiyomlarından örnek verecek olursak boş kümenin biricikliği teoremine “Boş Küme Aksiyomu” ve “Genelleştirme Aksiyomu”nun kabulüyle ulaşılabilir. O halde iki önermeden yola çıkan argümanın ulaştığı bir sonuç olduğundan boş kümenin biricikliğini ifade eden önerme küme kuramı aksiyomları içinde yer almamalıdır.

Bu iki özellik çerçevesinde akla gelebilecek en makul sorulardan bir tanesi aksiyom seçme kriterlerimizin neler olduğu sorunsalıdır. Eğer birbirine indirgenemeyen önermelere aksiyom diyorsak ZFC Aksiyomlarında neden “0!=1” gibi bir aksiyom ekleyemiyoruz? Matematikte ve mantıkta aksiyom sistemi yaratırken bağlantısız ve anlamsız aksiyomlar seçmek gibi bir özgürlüğe sahip miyiz? Aslına bakılırsa böyle bir özgürlüğümüz her zaman için mevcut. Matematik ve mantık aksiyomatik dallar olduğu için ve hatta matematiğin kendisi “Soyut kabul önermelerinden tümdengelim yoluyla çıkarım yapma işi” olarak tanımlanabileceği için istediğimiz sisteme diğer aksiyomlarla çelişmediği sürece istediğimiz aksiyomu ekleyebilir ve yeni bir model yaratabiliriz. Fakat aksiyom eklerken bu özgürlüğümüz genelde aksiyomların işe yararlılığı ile orantılı olmaktadır. Vektörler ile sayıları toplamayı tanımlayan bir sistem inşa edip (x,y) iki uzaylı vektörünü a sayısı ile topladığımızda (ax+3, y/a-7) sonucunu veren bir tanım yapıp yeni bir model oluşturabiliriz. Fakat bu tanım bizim kuracağımız bir sistemde bir soruna cevap vermediği için matematik ve mantık dünyasında tamamen unutulma eğilimine sahip olacaktır. Bunun yerine tanım yaparken bir problem çerçevesinde tanım yapmak ve aksiyomatik sistemi bu işe yararlılık çerçevesinde tanımlamak daha tercih edilir bir yöntemdir. Örneğin ıraksak serileri toplamanın Cesaro Toplamı, Hölder Toplamı, Abel Toplamı, Ramanujan Toplamı gibi çok sayıda yöntemi bulunur. Cesaro toplamı “1-1+1-1+1-1…” şeklinde giden toplamı hesaplayabilirken “1-2+3-4+5…” şeklindeki seriyi toplamakta başarısız olmaktadır. Tam da bu sebeple Abel Toplamı inşa edilmiş ve bu sayıların toplamının ne olduğu sorunu çözülmüştür. “1+2+3+4+5…” şeklindeki toplamın yapılmasında da Abel toplamı başarısız olmuş ve bu toplamın sonucuna ulaşma sorunu Ramanujan toplam tanımı sayesinde çözülmüştür. Bu durum bize neden ZFC Aksiyomlarına “0!=1” gibi ulaşmak istediğimiz modelden bağımsız önermeleri aksiyom olarak eklemediğimizi açıklamaktadır. Bunu eklememekteyiz çünkü bu aksiyom faktöriyel kavramını inşa ederken işimize yararken ZFC aksiyomlarından ortaya atılacak model bize bir katkı sağlamamaktadır. Tüm bu örneklerden çıkartabileceğimiz mutlak olmasa bile tercih edilesi diğer bir özellik olarak “Bir modeli inşa ederken tercih ettiğimiz aksiyomları tercih etmemiz o aksiyomların işe yararlılığı ile orantılıdır” şeklinde özetlenebilecek bir diğer özelliğe götürmektedir.

Aksiyomların ulaşılmak istenen modelin temeli olma, diğer aksiyomlara indirgenememe ve işe yarar olma özellikleri zihne yeni bir soru işareti bırakmaktadır: bu aksiyomlar birbirlerine indirgenemiyorsa her aksiyom birbirinden bağımsız mı olmalıdır? Zira hiçbir aksiyomun diğerinden çıkarsanamaması sezgisel olarak aralarında bağlantı olmaması gerektiği gibi bir kuralı da getiriyor gibi durmaktadır. Lakin işin özüne baktığımızda her ne kadar her biri bize farklı bir temel sağlıyor olsa da bu durum kabul önermelerinin birbiriyle bağlantılı olamayacağını göstermemektedir. Bu durumu en iyi gösteren örneklerden biri John Maynard Keynes’in 1937’de “The General Theory of Employment, Interest, and Money” eserinde temellerini attığı Ekonominin Keynesyen Modeli olacaktır. Zira bu model aşağıdaki üç temel denklemle aksiyomatikleştirilmiştir:

1. Y = C + I + g (Toplam gelir = tüketim + yatırım + hükümet harcamaları)
2. C = f(Y) (Tüketim gelirin bir fonksiyonudur.)
3. I = E(R) (Yatırım “sermayenin marjinal etkinliğinin” bir fonksiyonudur.) (Rosenberg, 2011)

Bu üç aksiyom incelendiğinde bahsedilen modelde toplam geliri tanımlamaya dair birinci önerme tüketim tanımını kullanırken ikinci önermede tüketim, toplam gelir üzerinden tanımlanmıştır. Yani aksiyomlar birbirine indirgenemese bile aksiyomlar arasında ilişkisel bir bağlantı bulunmaktadır. Bu durum bizi makalenin ilerleyen kısımlarında kullanacağımız dördüncü özelliğe götürmektedir: “Aksiyomlar birbirlerine indirgenemez olmalarına rağmen birbirleri ile doğrudan bağlantılı olabilirler.”

Son olarak bahsi geçen sistemlerle ilgili akla gelebilecek bir başka soru işaretinden yola çıkarak yeni bir özelliğe çıkabiliriz. Zira aksiyomatik sistemin yorumu bir modeli oluşturuyorsa ve tüm aksiyomlar bahsettiğimiz modelin temelini oluşturuyorsa herhangi bir aksiyomun olası tüm argümanlarda ya da modelin her parçasında bulunmak zorunda olup olmadığı da incelenmelidir. Aksiyomlar matematik ve mantıkta bir modelin yapıtaşıysa o modelin her parçasına nüfuz etmeli midir? Aslına bakarsak şu ana kadar verdiğimiz örnekler bu soruya negatif cevap vereceğimizi gösterebilir. Yine ZFC aksiyomlarına bakarak yedinci aksiyom olan seçim aksiyomunun küme kuramı içerisinde sonsuz olmayan kümelerle ilgili bir teoremde kullanılmak zorunda olmadığı görülebilir. Bir başka örnek ise Newton Fiziği Modeli’nin aksiyomlarını inceleyip her sorunda her kabul önermesini kullanmadığımızı görmek olabilir. Newton sistemi için aşağıdaki aksiyomları inceleyelim:

1. F= Gm₁m₂/d² (Kütleçekimine ilişkin ters kare yasası)
2. F= ma (Cisimlerin Serbest Düşme Yasası)
3. Bir cisim üzerine dengelenmemiş bir dış kuvvet etki etmedikçe, cisim hareket durumunu (durağanlık veya sabit hızlı hareket) korur. (Eylemsizlik Yasası)
4. Her etkiye karşılık eşit ve zıt bir tepki vardır. (Etki-Tepki Yasası)

Newton sistemi bu aksiyomlara uygun davranan tüm cisimleri kapsar ve bu aksiyomlardan çıkarsanan her formül bu modelin içerisindedir. Buna rağmen Newton fiziğinin her probleminde ve her sorununda bu aksiyomların tümünü kullanmak gibi bir zorunluluğumuz bulunmamaktadır. Kimi yasalar sadece serbest düşme yasasından çıkarsanabilirken kimi yasalar ters-kare yasası ile etki-tepki yasasının birleşiminden çıkartılabilir. O halde ulaşacağımız son sonuç “Aksiyomatik sistemdeki herhangi bir atom önerme her argümanda yahut sistemin modelindeki her parçada kullanılmak zorunda değildir.” şeklinde olacaktır.

Buraya kadar bahsedilen özellikler elbette aksiyomatik sistemlerin tek ve biricik özellikleri değildir. Fakat bu sistemleri anlarken bu özelliklere ihtiyacımız olacağından yukarıda saydığımız beş özellikten bahsetmek zorunlu gibi gözükmektedir. İronik bir şekilde aksiyomatik sistemlerin aksiyomları az önce saydığımız örnekler ve sebeplerle şu şekilde sıralanabilir:

1. Eğer kurulacak sistemin argümantatif yapısında kabul edilen önermeler ve bağlantılar kurulacak matematiksel yahut mantıksal modelin yapıtaşıysa bu önerme ve bağlantılar aksiyomatik sistemin önermelerinde bulunmalıdır.
2. Eğer elde edilen önermeler kümesinde herhangi bir önerme diğer önermelerden argümantatif yolla ulaşılabiliyorsa o önerme aksiyom değildir.
3. Bir modeli inşa ederken tercih ettiğimiz aksiyomları tercih etmemiz o aksiyomların işe yararlılığı ile orantılıdır.
4. Aksiyomlar birbirlerine indirgenemez olmalarına rağmen birbirleri ile doğrudan bağlantılı olabilirler.
5. Aksiyomatik sistemdeki herhangi bir atom önerme her argümanda yahut sistemin modelindeki her parçada kullanılmak zorunda değildir.

Tüm bu özellikler ve kriterler çerçevesinde aksiyomatik sistemlerin yani matematiksel yapıların nasıl çalıştığı daha iyi anlaşılabilir. Matematiğin kendisi doğrudan aksiyomlarla tanımlandığı için eğer matematik felsefesinde herhangi bir probleme yaklaşılıyorsa bu sistemlerin iyi anlaşılması gerekmektedir. Son günlerde oldukça popüler olan “Matematik keşif midir icat mı?” sorusuna da matematiğin aksiyomatik yapılara verilen genel bir isim olarak bakıldığında daha iyi anlaşılacaktır. Bu sebeple bu özelliklerin genel olarak nasıl işlediğinden bahsetmek oldukça önemliydi. İlerleyen yazılarda bu yazı çerçevesinde matematiğe ve matematik felsefesine dair yaklaşımlar incelenecektir. Bu çerçevede okurlara da matematiğe olan yaklaşımı aksiyomatik sistemlerin bütünü olarak güncellemeleri en temel önerimizdir.

Kaynakça

• Albert, Hans, Treatise on Critical Reason, Princeton University Press, New Jersey, 2016
• Kenneth Kunen, Set theory, Studies in Logic (London), vol. 34, College Publications, London, 2011.
• Keynes, John Maynard, The General Theory of Employment, Interest, and Money, Stellar Classics, 2016.
• Rosenberg, Alex, Philosophy of Science: A Contemporary Introduction, Routledge Contemporary Introductions to Philosophy New York, 2011.
• Ülger, Ali, Matematiğin Kısa Bir Tarihi II – İkinci Dönem Eski Yunan Matematiği, Matematik Dünyası, vol. 2, 2003.