Matematiksel Kesinlik Üzerine Bir Soruşturma – Zeynep Vuslat Yekdaneh

Giriş

Matematik, çoğu empirik ve sosyal bilimlerin sunduğundan çok daha sağlam bir biçimde kesinliği sağlayan bir alan olarak görülmektedir. Başka bir ifadeyle matematik, yaşadığımız aktüel ve olumsal dünya içerisinde kesinliği sağlayan en temel alandır. Bunun nedeni ise matematikte kullanılan aksiyomatik yöntemdir. Aksiyomatik yöntem, ispatlanmaksızın temele koyulan aksiyom ve postulatlardan çıkarımla diğer önermeleri ispatlamaya dayanmaktadır. Bu bağlamda matematikte, temele koyulan aksiyom, postulat ve tanımlardan hareketle çıkarımlar yapılarak birtakım önermeler ya da teoremler elde edilir. Bu teoremlerin kesinliği, çıkarımın yapıldığı temel önermelerin doğruluğuna bağlıdır. Daha açık bir ifadeyle, aksiyomların ve postulatların doğru olması durumunda teoremlerin doğruluğu da kesindir. Dolayısıyla matematiği kesin bir alan yapan unsur, ispatın kendisinde yatmaktadır. Söz konusu aksiyomatik yöntemin ilk örneğini İ.Ö. 300 yılında ortaya koyan Eukleides’in Öğeler adlı eseri oluşturmaktadır. Bu eserinde Eukleides, önceki dönemlerdeki bilgi birikimlerini sistematikleştirerek geometrinin mantıksal zeminini ortaya koymuştur. Matematiksel kesinlik açısından Eukleides’in önemi ise, aksiyomatik yöntemi kullanmasında ve uzun dönemler etkili olacak olan bir paradigmanın temellerini atmakla birlikte Çağdaş Dönemdeki matematiksel kesinlik, doğruluk ve tutarlılık gibi konuların kökenini oluşturmasında yatmaktadır.

Nitekim matematiksel kesinlik, yalnızca aksiyomatik yöntemin yapısıyla değil, matematiksel önermelerin apaçıklığı ve tanımsal yapısı ile de ilişkilendirilmiştir. Örneğin matematiksel kesinliği, önermelerin apaçıklığına dayanarak açıklayanlara göre matematiğin önermeleri, salt akılla ya da sezgiyle doğrudan kavranabilen önermeler olmaları bakımından doğru ve kesindirler. Tanımsal yapıya odaklanan yaklaşımlar için ise matematiksel kesinlik, matematiğin önermelerinin analitik yargılar olmaları doğrultusunda açıklanmaktadır. Nitekim matematiksel önermelerin tanımsal yapısı bakımından da apaçıklık, ele alınan bir unsurdur. Bu yaklaşımlar uyarınca matematiksel kesinliğin dayandırıldığı üç nokta olduğunu söylemek mümkündür: İspat, apaçıklık ve tanımsal yapı. Nitekim matematikte ileri sürülen kesinlik iddiası, söz konusu üç unsurun yakından incelenmesiyle görebileceğimiz gibi felsefi sorgulamaya ihtiyaç duymaktadır. Bu bağlamda metinde, matematiksel kesinliğin hangi unsurlar doğrultusunda açıklanmaya çalışıldığı ve niteliği, tarihsel bakımdan incelenecektir. Öncelikle matematikte ilk aksiyomatik yapıyı ortaya koyan Eukleidesçi paradigma, genel hatlarıyla açıklanacaktır. Ardından matematiksel kesinliği tanımsal açıdan ele alan yaklaşımların ve isimlerin görüşleri kısaca serimlenecektir. Çağdaş Dönemde konuyla ilgili farklı açılardan yapılan tartışmalara metnin sınırları çerçevesinde değinilmeyecek, yalnızca Eukleides-dışı geometrilerin ortaya çıkması sonucunda matematikte yaşanılan bunalımların matematiksel kesinliğe etkisi matematiği mantığa indirgeme projesi ve biçimselcilik bakımından ele alınacaktır.

Metnin gidişatı doğrultusunda tartışılacak olan sorular şunlardır: Matematiksel kesinlik nedir? Matematik, genel kanının kabul ettiği gibi kesinliği sağlar mı? Matematiksel kesinliğin dayandırıldığı unsurlar nelerdir? Eukleidesçi paradigma ile matematiksel kesinlik arasında nasıl bir ilişki vardır? Matematiksel önermelerin özellikleri kesinlik konusunda bize ne söylemektedir? Eukleides-dışı geometrilerin ortaya çıkışıyla birlikte matematiksel kesinlik açısından ne gibi bir değişiklik olmuştur? Matematik, kesinlik konusunda bize ne anlatmaktadır? Matematiksel kesinlik neden önemlidir?

1. Matematiksel Kesinlik Nedir?

Matematiksel kesinlikten bahsederken neyi kast ettiğimizi açıklamak faydalı olacaktır. Matematiksel kesinlik, öncelikle, ispatın niteliğine dayanmaktadır. Matematiği diğer bilimlerden ayıran en temel özellik olarak ispat, genel geçer ve zorunlu bir zemin yaratmaktadır. Bu bağlamda matematikte, ilkel terimlerle oluşturulan birtakım tanımlara dayanan postulat ve aksiyomlar, doğru olduğu kabul edilerek sistemin temeline yerleştirilir. Söz konusu postulat ve aksiyomlar, sistemin ilk basamağını oluşturur ve sistemin geri kalan önermeleri, bu temel önermelerden hareketle dedüktif çıkarım yoluyla elde edilir. Postulat ve aksiyomlar doğru olduğu için, elde edilen çıkarımlar da zorunlu olarak doğru olacaktır. Bu da matematiksel önermelerin doğrulunu kesinleştirmektedir. Şu noktada dedüktif çıkarımın, aksiyom ve postulatların içeriğinin belli bir kısmını tekrar ettiğini söylemek gerekmektedir. Daha açık bir ifadeyle aksiyom ve postulatlardan elde edilen çıkarımlar, aksiyom ve postulatlarda belirtilen yargıları kendi içlerinde barındırırlar. Bu bağlamda Hempel, şu örneği vermektedir: “Gene, ‘2 dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır’, ‘n, 2’den farklı bir asal sayıdır’ öncüllerinden, ‘n bir tek sayıdır’ sonucu çıkar. Fakat zorunlu olan bu sonuç da öncüllerin bir parçasını dile getirmekle kalmaktadır” (Hempel, 1945; aktaran Yıldırım, 2019, s.279). Dolayısıyla dedüktif çıkarımla doğruluğu ispatlanan önermelerin kesin olarak doğru olmasının sebebi, çıkarsandığı postulat ve aksiyomların doğru olmasının yanında, söz konusu postulat ve aksiyomların içeriğini belli bir derecede yinelemesidir. Bununla birlikte mantıksal çıkarımın formel niteliği, öznelliği dışarıda bırakarak nesnel sonuçlar elde etmeyi sağlaması bakımından da matematiksel kesinliği temin etmektedir.  

Matematikteki kesinlik iddiası, çıkarıma dayalı aksiyomatik yöntemden kaynaklanmanın bir uzantısı olarak, empirik verilere dayanmaksızın ispatlama yapılabilmesinden ileri gelmektedir. Bu da şu anlama gelmektedir: Empirik bilimlerde olduğu gibi yeni veriler, hali hazırdaki teoremleri yanlışlayamaz. Çünkü teoremler ya da önermeler ispatlandıktan sonra kesin olarak doğru önermelerdir. Bu bağlamda matematiksel önermelerin yapısı, empirik önermelerin yapısından daha farklıdır. Onlar, genel kanıya göre, analitik ve a priori önermelerdir.[1] Dolayısıyla matematiksel önermeler, empirik herhangi bir veriye dayanmadan, salt mantıksal çıkarım yoluyla ispatlanmaktadır. Bu da matematiğin kesinlik iddiasını güçlendirmektedir.

Matematiksel kesinliğe yönelik diğer bir unsur ise matematiğin önermelerinin apaçık oluşudur. Söz konusu klasik görüşe göre matematiğin önermeleri, sezgisel ya da salt akılla kavranılabilen önermeler olmaları bakımından apaçıktır. Apaçıklık niteliği taşıyan önermeler, sistemin temeline koyulan postulat ve aksiyomlar olarak kabul edilmektedir. Söz konusu önermelerin apaçık olmasının nedeni, inşa edilecek olan matematiksel sistemlerdeki önermelerin, postulat ve aksiyomlar gibi temel önermelerden hareketlerden çıkarımla elde edilecek olmasıdır. Böyle bir sistemde temele koyulan önermelerin apaçık olması gereklidir. Aksi halde çıkarımların doğruluğu ve sistemin sağlamlığı sarsılabilir hale gelecektir. Örneğin Robert Audi, apaçıklığa ilişkin “Apaçık bir tümce herhangi bir açıklama ya da kanıt olmaksızın doğru olduğu varsayılan, doğruluğu kendi içinde olan bir tümcedir” (Güven, 2016, s.188) şeklinde bir açıklama yapmaktadır. Bu durum, matematiğin önermelerinin apaçıklığı için de geçerlidir. Bu bağlamda bir önermenin apaçık olduğunu dile getirmek, şu nitelikleri taşıdığını belirtmektir: Açık bir biçimde anlaşılabilir olması, temellendirmeye gereksinim duyulmaması, doğrulanmaya ihtiyaç duyulmaması, doğrudan olması, olgusal herhangi bir veriye dayanmaması ve nesnel bir ölçüt olması. Dolayısıyla apaçıklık, matematiksel kesinliği sağlayan unsurlardan biri olarak görülmüştür. Ancak apaçıklığın, belirtilen niteliklere sahip olup olmadığı tartışmalı bir konudur. Kimi postulat ve aksiyomların doğruluğunun apaçık olduğunu iddia etmek pek akla yatkın durmamaktadır. Buna örnek olarak Eukleides’in paraleller postulatı olarak da bilinen beşinci postulatını verebiliriz.[2] Beşini postulatın apaçık olmaması sebebiyle ispatlanmaya ihtiyaç duyulması, Eukleides-dışı geometrilerin ortaya çıkmasına neden olurken söz konusu postulatın doğruluğu da tartışmaya açılmıştır. Bu doğrultuda apaçıklığın, nesnel bir ölçüt olarak ortaya konulmasına karşın, neyin apaçık olduğunun kişiye göre değişebilmesi bakımından öznel bir durum olmaktan ileri geçemediğini söyleyebiliriz. Beşinci postulat gibi postulatların doğruluğu apaçık olmamakla birlikte doğru olup olmadığı konusunda matematikçilerin uzun yıllar üzerine çalıştıklarını söylemek yanlış olmayacaktır. Bu bağlamda apaçıklığın kendisi ile matematiksel kesinliği sağlayan nesnel bir ölçüt olarak ele alınması, sorgulanmaya açıktır.

2. Eukleides Geometrisinin Matematiksel Kesinlik İle İlişkisi

Daha önce bahsedildiği gibi matematiksel kesinliğin temeli, ispata dayalı aksiyomatik yöntemde yatmaktadır. Matematikteki aksiyomatik yöntemin tarihsel ilk örneğini de İ.Ö. 300 yılında Eukleides, Öğeler[3] adlı eseriyle ortaya koymuştur (Yıldırım, s.33). Bu bakımdan Eukleides’in eserini daha yakından incelemek yararlı olacaktır.

Antik Yunan’da matematik, filozofların bilgide kesinlik arayışları doğrultusunda teorik kaygılarla şekillenen bir alandı. Başka bir ifadeyle Yunanlılar, geometriyi ve matematiği işe yararlık açısından değil, hakikati bilmek ve anlamak amacıyla kullanmaktaydılar (Yıldırım, s.33). Matematiği saf ve soyut bir alan olarak gören Yunanlı düşünürler, geometrik ilkeleri keşfetme ve ispatlamaya yönelik bir çaba içine girmişlerdi. Bu çabanın ürünlerinden biri de Eukleides’in Öğeler adlı yapıtıdır. Bu yapıtında Eukleides, önceki dönemlerdeki bilgi birikimlerini sistematikleştirerek geometrinin mantıksal düzenlemesini sunmuştur. Söz konusu yapıt yalnızca geometrinin ilkelerini ve ispatlarını ortaya koyan bir kitap değil, “bilimsel düşüncenin ne olması gerektiğine dair bir model olarak” (Barker, 2017, s.35) görülmüştür.

Aksiyomatik yapısı ve ortaya koyduğu ispatlar ile matematiğin önermelerinin kesinlikle doğru olduğu inancını doğuran Öğeler’in başarısı, daha önce ortaya koyulan teoremleri mantıksal düzene sokmuş olmasından kaynaklanmaktadır. Bu bütüncül yaklaşımın zemininde Eukleides’in belirttiği yirmi üç tanım, beş temel aksiyom ve postulat yatmaktadır. Tanımlar, Eukleides’in sisteminde kullandığı terimlerin anlamlarını açıklamaya yönelikken aksiyom ve postulatlar, sistemin apaçık doğruluğunu sağlayan ilkeleri oluşturmaktadır (Yıldırım, s.36). Bu temel aksiyom ve postulatlara dayanarak ise önermeler, dedüktif çıkarımla ispatlanır ve bu önermeler, sistemin teoremlerini oluşturur. Bunlardan birkaçına göz atmak faydalı olacaktır:

Öğeler’in giriş kısmında verilen tanımlar, aksiyomlar ve postulatlardan anlaşılacağı gibi Eukleides, sistematik bir tavır sergileyerek temele koyduğu ilkeler bağlamında önermelerinin doğruluğunu ve kesinliğini apaçık bir şekilde ortaya koymuştur. Söz konusu aksiyomlar apaçıktır çünkü ilk okunduğu anda sezgisel olarak anlaşılabilir niteliktedir. Önermelerinin zorunlu olarak doğru ve kesin olmaları ise aksiyomlardan çıkarımla elde edilmiş olmalarından kaynaklanmaktadır. Öğeler’e ilişkin bir başka önemli nokta ise ispatlamadır. Eukleides’in ispatlamaları, deneysel gözleme dayalı bir şekilde gerçekleşmez. Aksine o, tümdengelimsel yöntemle ispatlamalarını yapar. Bir ispatın dayanacağı öncüllerin önceden belirlenmesi gerekmektedir. Başka bir deyişle ispatlama, doğruluğu önceden bilinen öncüllerden mantıksal olarak çıkan sonuçları kurma yönündeki akıl yürütme zincirini ifade etmektedir (Barker, s.36). Peki, Eukleides’in sistemi matematiksel kesinlik bağlamında bize ne söylemektedir?

Matematiksel kesinliğin temelini Eukleides’in ortaya koyduğu aksiyomatik yapının oluşturduğunu söylemek yanlış olmayacaktır. Bunun nedeni ise aksiyomatik yöntemin, bir matematiksel sistem içerisindeki önermelerin, temele koyulan diğer önermelerden çıkarımla ispatlanması anlamına gelmesidir. Matematiğin kesinliği de burada yatmaktadır: Bir önerme bir kez ispatlanınca, kesinlik kazanmış olur. O halde matematiksel kesinlik, ispatın dedüktif niteliğine bağlıdır (Yıldırım, s. 278). Bu noktada, önermelerin kendilerinden çıkarımla elde edildiği temel aksiyom ve postulatların, sonsuz geriye gidişten kaçınmak için koyulan temel varsayımlar olduğunun altını çizmek gereklidir. Söz konusu aksiyom ve postulatların apaçık ve doğru olarak kabul edilmesi, teoremlerin ispatlanmasındaki kesinliğin kaynağını da oluşturmaktadır. Ne var ki Eukleides’in sistemindeki beşinci postulat, kabul edildiği gibi apaçık ve kesin olmadığı için, gelecek dönemlerde yeni tartışmaların ve farklı bakış açıların doğmasında etkili olacaktır.

3. Matematiksel Önermelerin Yapısı

Matematiksel kesinliği açıklamaya çalışırken söz konusu kesinlik iddiasının dayandırıldığı birtakım noktalardan bahsetmiştik. Bu noktalardan birini de matematiksel önermelerin tanımsal yapısı oluşturmaktadır. Matematiksel önermeler, kaynağı bakımından a priori ya da a posteriori, içeriği bakımından ise analitik ya da sentetik yargılar olarak sınıflandırılmıştır. Söz konusu ayrımlar yalnızca matematiksel önermeler açısından değil, genel olarak her türden yargıların sınıflandırılması doğrultusunda tartışılmıştır. Nitekim yargı sorunu olarak adlandırabileceğimiz bu sınıflandırmalar, Hume ve özellikle Kant’a kadar, analitik-sentetik ayrımının net olmaması nedeniyle a priorilik üzerinden tartışılmıştır. Bu bağlamda matematiksel önermelerin yapısını daha iyi anlayabilmek için felsefe tarihi içerisindeki kimi filozofların bu konuya ilişkin yaklaşımlarını ele almak gerekmektedir.

3.1 Matematiksel Önermelerin Analitik A Priori Yapısı

Rasyonalist bir filozof olan Descartes, zihnimizde deneyimden kaynaklanmayan ve doğuştan bulunan ideler olduğunu ileri sürmüştür (Descartes, 2013, s.15). Söz konusu doğuştan ideler, a priori fikirlerdir. Ona göre, doğuştan idelerin ışığında, sezgisel olarak kesin bilgiye ulaşabiliriz. Örneğin üçgen idesi, sezgisel kavrayışla elde edilen bir idedir (Yolcu, 2016: s.76). Sezgisel kavrayışla elde edilen idelerden çıkarım yoluyla ise bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 derece olduğu bilgisini elde ederiz. Bu bakımdan Descartes, Eukleides’in aksiyom ve postulatları gibi önermeleri, doğuştan bildiğimiz ve sezgiyle kavradığımız kesin bilgiler olarak görmektedir. Öyleyse Descartes’ın doğuştan ideleri; a priori, apaçık ve kesin doğrular olarak kabul ettiğini söyleyebiliriz. Bu bağlamda Descartes’ın felsefesindeki Eukleidesçi sistemi daha net görebilirken matematiksel bilginin neden kesin bilgi olarak kabul edildiğini de daha açık bir şekilde anlayabiliriz. Burada her ne kadar Çağdaş Dönemde ele alındığı gibi a priorilik tartışmasına girilmese de, doğuştan idelerin deneyimden kaynaklanmaması ile doğuştan ideler ve sezgi aracılığıyla diğer bilgilerin temellendirilmesi, a priorilik zemininde ele alınmıştır. Dolayısıyla Descartes tarafından matematiksel önermelerin analitik ve a priori olduğu kabul edilmiştir.

Descartes’ın a priorilik üzerinden yürüttüğü tartışmaya karşılık Leibniz, analitik-sentetik ayrımını daha belirgin bir şekilde ele almıştır. Leibniz’e göre doğruluk iki ayrılır: Akıl doğrulukları ve olgu doğrulukları (Leibniz, 2015, s.28). Akıl doğrulukları zorunlu ve değillemesi çelişkiye düşüren yargılarken olgu doğrulukları, olumsal ve değili düşünülebilir yargılardır (Leibniz, 2015, s.28). Leibniz’in ‘analitik’ ve ‘zorunluluk’ kavramlarını a priorilik ile birlikte kullandığı düşünüldüğü zaman akıl doğrulukları, olgu doğruluklarının temelini oluşturan a priori yargılar olarak karşımıza çıkmaktadır. Söz konusu a priori yargılar, ‘çelişmezlik ilkesi’ ile ‘yeterli neden ilkesi’ne dayanmaktadır (Güven, 2012, s.18). Bu bilgiler doğrultusunda baktığımız zaman, Leibniz’e göre, matematiğin önermeleri de a priori olan ilkelerden hareketle ispatlanmaktadır. Yüklemin öznede içerilmesini gerektiren a priori yargılar, a posteriori yargıların da temelini oluşturduğu için Leibniz, aslında her türden yargının özünde analitik ve zorunlu olduğunu savlamıştır (Dursun, 2015, s.25). Böylelikle yargılarımızın doğru olmasının ölçütü, onların analitik a priori olmasında yatmaktadır. Öyleyse Leibniz’in matematiksel yargıları a priori, analitik ve zorunlu önermeler olarak ele aldığını söyleyebiliriz.

David Hume ise, rasyonalistlerden daha farklı bir yol izleyerek analitik-sentetik ayrımını ve a priorilik tartışmasını doğrudan ele almıştır. Hume, İnsanın Anlama Yetisi Üzerine Bir Soruşturma’da bilgimize konu ettiğimiz şeylerin iki kaynağı olduğunu dile getirmiştir: İdeler arası ilişkiler ve empirik olgu durumları (Çelik, 2015, s.197). Matematiksel önermelerin hepsi, geometri, cebir, aritmetik, sezgisel olarak apaçık bir şekilde kavranan ya da ispat yoluyla kesin olarak bilinen önermeler olarak ideler arası ilişkiler kısmına girmektedir. Bu önermelerin doğruluğu zorunlu olduğu için analitiktirler. Empirik olgu durumları ise olumsal, yani başka türlüsü düşünülebilen olgular olduğu için, bu olgu durumlarına yönelik önermeler, sentetiktir. Doğal süreçler hakkında bilgi vermeyen matematiksel önermeler, örneğin ‘2+2=4’ önermesi, analitik bir yapıya sahiptir ve kesinliği biçimselliğinden kaynaklanır. Bu bakımdan matematiksel önermelerin doğruluğu ve kesinliği, empirik olgu durumlarında olduğu gibi deneyim yoluyla ispatlanmaz; onların a priori bilinen doğruluğu ve kesinliği, önermelerin tanımsal yapılarına dayanmaktadır (Yıldırım, s.90). Bu noktada Eukleides geometrisinin postulatlarını hatırlayalım. Postulatlardan önce Eukleides, kullandığı kavramların tanımlarını yapmış ve bu tanımlamalardan yola çıkarak temel aksiyomlarını, postulatlarını oluşturmuştur. Bu doğrultuda Eukleides’in ortaya koyduğu önermelerin hiçbiri, doğada gözlemlenebilen ya da olgu durumlarına karşılık gelen önermeler değildir. Bu gibi biçimsel önermeleri, deneyime başvurmadan, ideler arası ilişkilerin zorunlu bağıntıları olarak bilebiliriz. Söz konusu önermelerin tanımları değişmedikçe ideler arasındaki ilişkiler de değişmeyeceği için doğrulukları kesin ve a prioridir. Dolayısıyla matematiksel önermeler; analitik, zorunlu ve a priori niteliğe sahip olan kesin bilgilerdir.

3.2 Matematiksel Önermelerin Sentetik A Priori Yapısı

Hume’un analitik-sentetik ile a priori-a posteriori ayrımları sonrasında Kant, aynı ayrımları, Hume’un ele aldığından daha farklı biçimde ele alarak yargı sorununa yeni bir bakış açısı getirmiştir. Aynı zamanda Kant’ın matematiksel önermelere yönelik özgün bakış açısı, Çağdaş Dönemde matematiğin temelleri hakkındaki tartışmaların hareket noktasını oluşturan etkenlerden biri olacaktır. Kant’a göre yargılarımız içerik açısından ikiye ayrılır: Analitik yargılar ve sentetik yargılar. Analitik yargılar, içeriğine göre açıklayıcıyken sentetik yargılar genişleticidir. Verdikleri bilgi türlerine göre ise yargılar, a priori ve a posteriori olmak üzere ikiye ayrılır.

Bir yargının, analitik olarak kategorize edilebilmesi için özne-yüklem bağıntısı içinde, yüklemin öznede içerilmesi gerekmektedir. Bu doğrultuda analitik yargıların özellikleri; a priori olması, açık ve seçik özdeşliği sergilemesi bakımından totolojik olması, ek bilgi vermemesi, açıklayıcı olması, doğruluk koşullarını kendi içinde taşıdığı için zorunlu olması ve deneyim zemininde temellendirilmemesine karşın yargıda kullanılan kavramların deneyim kökeninden gelmesinin olanaklı olması şeklinde sıralanabilir (Güven, s.54-55). Örneğin, ‘Bir cisim uzamlıdır’ önermesi, deneyimden hareketle elde edilen bir yargı olmamakla birlikte, a priori açık ve seçik bir önermedir. Çünkü özne-yüklem bağıntısı içinde, yargının analitik a priori olabilmesi tüm koşullar sağlanmıştır ve Kant’ın belirttiği gibi “… yapmam gereken tek şey çelişki ilkesine göre kavramdan yüklemi çekmektir. Bu yolla aynı zamanda yargının zorunluğunun bilincinde de olabilirim ki, deneyimin bana hiçbir zaman öğretemeyeceği şey budur” (Kant, 2015, s.45 B12).

Sentetik yargılar ise, doğruluğu, içerdiği kavramların tanımlarına dayanmadığı için ek bilgi veren niteliktedir. Dolayısıyla sentetik yargılar, bilgimizi genişleten yargılardır. Bir sentetik yargının doğruluk koşulu, analitik yargılarda olduğu gibi özne-yüklem bağıntısı içerisinde oluşmaz; aksine, özne-yüklem bağıntısının dışında bağ kurucu üçüncü bir unsura ihtiyaç duyulur ki, o da görüdür (Anschauung) (Güven, s.63). Bağ kurucu üçüncü unsur olan görünün ise iki farklı zemini vardır: Empirik olgu durumları ve saf akıl. Kant’a göre görü, empirik olgu durumları zemininde oluştuğu zaman sentetik a posteriori yargılar meydana gelmektedir. Örneğin, ‘Tüm elmalar kırmızı renklidir’ önermesi; çelişiği düşünülebilen, deneyimden hareketle oluşturulmuş ve olumsal bir önerme olması bakımından sentetik a posteriori bir yargıdır. Öte yandan görünün, saf aklın kökeninde oluşması durumunda ise sentetik a priori yargılarımız oluşur. Bu noktada önemli olan diğer bir kavram çifti ise uzam ve zamandır. Gerçekliği kurabilmemizin biçimsel ön koşulu olan uzam ve zaman, aklımızın sınırları çerçevesinde algıladığımız dünyayı şekillendirmektedir. Başka bir deyişle biz, duyusallığın formları olan uzam ve zamandan hareketle dış dünyadaki olguları algılarız. Bu bağlamda görü, duyusallığımızın saf formları olan uzam ve zamandan hareketle elde ettiğimiz bir unsurdur (Çevik, 2019, s.51). Görü, duyusallığın altına nesne düşürdüğümüz zaman ortaya çıkmakla birlikte, bir nesnenin kavramını kurabilmek için gerekli olan unsurdur. Bu bakımdan Kant’a göre yargıda bulunmanın olanağı, altına görü düşürebildiğimiz nesneler üzerinden ortaya çıkmaktadır. Nitekim Kant, saf görünün, nesneden önce olanaklı olması durumunda bile empirik görülerle ilişki içinde olduğunu belirtir (Güven, s.65). Söz konusu ilişkinin temelinde, “uzay ve zaman saf görüleri empirik deneyimin bütününe uygulandığından, bu görülerde inşa edilen nesnelerle kurulan yargılar da empirik deneyimin tamamında evrensel ve zorunlu geçerliliğe” (Arslan, 2016, s.11) sahip olması yatmaktadır. Öyleyse sentetik a priori yargıların olanağı, olanaklı deneyimin sınırları içerisinde, saf görü ile empirik görünün birlikte çalışmasına bağlıdır. Peki, hangi yargılarımızı sentetik a priori yargılar olarak sınıflandırabiliriz?

Kant’a göre, matematiğin önermeleri sentetik a prioridir. Hiçbir zaman empirik önermeler olmayan matematiksel önermeler, deneyimden türetilmeyecek zorunluluğu kendi içlerinde barındırdıkları ve saf görü aracılığıyla oluştukları için a prioridirler (Çelik, s.270). Dolayısıyla a priori bir yargının taşıması gereken her özelliği taşırlar. Söz konusu önermeler sentetik olması bakımından da bilgimizi genişletici niteliğe sahiptirler. Örneğin ‘7+5=12’ önermesini ele alalım. On iki kavramı, yalnızca beş ve yedi kavramının birleşiminden oluşmaz, toplamları on iki edecek farklı kombinasyonlar yapabiliriz. Bu durumda söz konusu önerme zorunlu olması bakımından a priori nitelik taşırken, özne-yüklem bağıntısı içinde yüklemin öznede içerilmemesinden kaynaklı olarak ve görünün yardımı olmaksızın on iki kavramına ulaşamamamız nedeniyle analitik değil, sentetiktir. Bu doğrultuda Kant’ın matematiksel bilgiyi, kavramların analizi yoluyla edinilen bir bilgi olarak değil, “kavramların saf görü zeminindeki inşasıyla erişilen” bir bilgi olarak ele aldığını söylemek mümkündür (Çevik, s.54).

Kant, aynı şekilde, geometrinin önermelerini de sentetik a priori olarak kabul etmektedir. Örneğin ‘Bütün dik açılar birbirine eşittir’ önermesini düşünelim. Buradaki ‘eşittir’ kavramı, ‘dik açı’ kavramında içerilmez; dolayısıyla ‘eşitlik’ özelliği, ‘dik açı’ kavramına eklenmektedir. Bu sentez işlemi de görü, tasarım ve imgelem yetisinin birlikte çalışması ile gerçekleşmektedir. Şu halde söz konusu önerme, sentetik bir önermeyken zorunlu olması bakımından da a priori bir önermedir. Öyleyse diyebiliriz ki, matematiksel önermeler gibi geometrinin önermeleri de sentetik a prioridir. Kısaca Kant, görü temelli bir kavrayış sergileyerek matematiksel önermelerin yapısını ortaya koymuştur.  Kant’ın görü temelli inşası önemlidir çünkü Çağdaş Dönemdeki matematiksel tartışmalar, söz konusu kavrayıştan kurtulmak adına yapılan uğraşları göz önüne sermektedir. Matematiksel önermelerin yapısı konusunda Kant sonrası görüşlere geçmeden önce, matematiksel kesinlik, doğruluk ve tutarlılık gibi tartışmaların doğuşuna zemin hazırlayan Eukleides-dışı geometrileri kısaca konu edinmek faydalı olacaktır.

4. Eukleides-Dışı Geometriler

Eukleides geometrisi, çağlar boyunca temel paradigma olarak kabul edilmiştir. On dokuzuncu yüzyıla kadar matematikçiler, Eukleides’in aksiyom ve postulatlarının kesin bir biçimde ya kabul edilebilir ya da reddedilebilir olduğunu düşünmüştür (Barker, s.50). Bunun da ötesinde genel görüş, Eukleides’in sistemini ileri süren kişilerin doğruluğundan emin olurken bu sistemi savunmayan kişilerin yanlış bildirimde bulunduğu kanısındaydı (Barker, s.50). Söz konusu kanı yalnızca matematikçiler arasında kabul görmüş bir kanı değildi. Kendi kuramlarını sağlamlaştırmak için Eukleides’in yönteminden esinlenen ve doğa bilimlerinin temellendirmesini yapmayı amaçlayan filozoflar için de bu geometrik sistem, kesin, zorunlu ve apaçık bilginin bir göstergesi niteliğindeydi. Dolayısıyla Eukleides geometrisinden şüphe edilmemekle birlikte ona yönelik duyulan bir güven de vardı. Söz konusu güvenin temelinde ise aksiyomatik yöntemin kesinliği ve önermelerin apaçıklığı yatmaktaydı. Nitekim Eukleides’in beşinci postulatı, kimi matematikçiler için sorun teşkil etmekteydi. Çünkü beşinci postulat, Eukleides’in sistemi her ne kadar apaçık ve ispata gerek duyulmayan temel aksiyom ve postulatlardan oluşmuş olsa bile, bu iddiaları tam anlamıyla yerine getirmemekteydi. Beşinci postulat sorunu olarak adlandırılan bu sorun, yıllardır hâkim olan paradigmayı yerinden sarsacak türden yeni geometrik sistemlerin ortaya çıkmasına neden olurken aynı zamanda, Eukleides geometrisinin doğruluğu, tutarlılığı ve geçerliliği tartışmaya açılmıştır. Söz konusu tartışmaların temelinde şu soru yatmaktadır: Eukleides geometrisi dışında farklı geometrilerin varlığı olanaklıysa hangi geometrik sistemin doğru ve tutarlı olduğunu söyleyebiliriz? Doğruluğun ve tutarlılığın dayanakları ne olacaktır? Bu bağlamda Eukleides-dışı geometrilerin varlığı, matematiksel kesinlik bakımından da tartışmaların yön değiştirmesine sebebiyet vererek matematiğin temellerine yönelik farklı yaklaşımların ortaya çıkmasına aracılık etmiştir. Bu tartışmalara ve yaklaşımlara değinmeden önce Eukleides -dışı geometrileri daha yakından incelemek gerekmektedir.

Eukleides’in ‘paraleller postulatı’ olarak da bilinen beşinci postulatını hatırlayalım: “Eğer bir doğru iki doğruyu kestiğinde bu doğrunun aynı tarafındaki iç açılar iki dik açıdan küçükse, bu iki doğru o yönde uzatıldıklarında kesişir (Aktaran Sertöz, 2018, s.3).”

Söz konusu postulatı, Eukleides geometrisinin erken dönem yorumcularından biri olan Proclus, yeterince açık olmadığı gerekçesiyle sistemdeki diğer aksiyom ve postulatlardan çıkartarak ispatlanması gerektiğini ileri sürmüştür (Musgrave, 2013, s.286). Proclus gibi dönemin diğer matematikçileri de paraleller postulatını ispatlamaya çalışmıştır fakat işe yarar bir sonuç alamamışlardır. On sekizinci yüzyıla gelindiğinde ise bu başarısız ispatlama girişimlerinden biri sonucunda ilerleme kaydedilmiştir: İtalyan matematikçi Saccheri, Bütün Kusurlarından Arındırılmış Eukleides isimli bir kitap yayımlamıştır (Musgrave, s.287). Bu kitapta Saccheri, saçmaya indirgeme yöntemiyle beşinci postulatı ispatlamaya çalışmıştır. Saçmaya indirgeme yöntemi doğrultusunda “verili bir noktadan, bir doğruya tek bir paralel doğru geçtiğini söyleyen aksiyomun olumsuzlaması iki olasılık sağlar: Böyle bir paralel yoktur ve birden fazla paralel vardır” (Musgrave, s.287). Böylelikle Saccheri, farkında olmadan, Eukleides-dışı geometrilerin olanağını ortaya koymuştur.

Saccheri’nin çalışmalarının ardından üç farklı matematikçi, birbirlerinin çalışmalarından haberdar olmaksızın yeni tip bir geometri geliştirmiştir (Barker, s.64). Bu matematikçilerden Gauss, beşinci postulatın diğer postulatlardan bağımsız olabileceğini ileri süren ve ‘Eukleides-dışı geometriler’ terimini kullanan ilk matematikçidir (Barker, s.64). Gauss’la birlikte Bolyai ve Lobachevsky gibi iki önemli isim de Eukleides-dışı geometrilerin ortaya çıkmasında etkili olmuştur (Yıldırım, s.51-52). Peki, Eukleidesçi paradigmayı yıkan bu geometriler, matematiksel kesinliğe dair olan inancı nasıl etkilemiştir?

Eukleides-dışı geometrilerin üç ana sonucu vardır: Postulat kavramına yönelik algının değişmesi, matematiğin ‘mutlak doğruluk’ ile ‘kesinlik’ iddialarının yıkılması ve hangi sistemin tutarlı olduğunun sorgulanması. Postulatlar, farklı geometrik sistemlerin meydana gelmesinden önce, apaçık ve zorunlu doğrular olarak kabul ediliyordu. Nitekim Eukleides’in beşinci postulatı, sistemindeki diğer önermelerden daha karmaşık ve daha az apaçık olması bakımından ispatlanmaya ihtiyaç duymaktaydı. Bu ihtiyaç doğrultuda matematikçiler beşinci postulatı ispatlayamamakla kalmamış aynı zamanda söz konusu postulatın yerine onunla çelişen bir önerme koyulduğunda mantıksal tutarlılığın sağlandığı yeni bir geometri elde edildiğini göstermiştir (Hempel, 1945; aktaran Yıldırım, s.281). Bu bağlamda beşinci postulat yerine, ona ters düşen farklı bir postulatın konulması sonucunda, postulat dediğimiz kavramın aslında bir varsayımdan ibaret olduğu anlaşılmıştır (Yıldırım, s.56). Bu da demek oluyor ki, oluşturulan sistemlerin ilk ilkeleri olan postulatlar ve aksiyomlar, ne kendinden gerekçeli inançlardır ne de mutlak ve apaçık doğrulardır; onlar yalnızca bizim kabullerimizdir. Dolayısıyla onlar, sorgulanamaz nitelikte olmamakla birlikte, matematiksel kesinliğin dayanaklarından biri olan apaçıklığı ve doğruluğu her zaman sağlamayabilirler. Bu bağlamda aksiyom ve postulatların doğruluğuna ilişkin tartışmalar Çağdaş Dönemde matematiğin temelleri ile matematiksel kesinlik konusunda yol gösterici olmuştur.

Eukleides-dışı geometrilerin bir başka sonucu ise geometrik terimlerin anlamlarına yönelik bir kavrayış değişikliğinin oluşmasıdır. Daha önce de bahsedildiği gibi, aksiyomatik bir sistemde önceden tanımlanan terimlerden yola çıkarak birtakım postulat ve aksiyomlar ortaya koyulur. Eukleides-dışı geometriler de Eukleides’in geometrisinden bağımsız olduğu için, daha farklı ilkel terimleri gerektirmektedir (Hempel; aktaran Yıldırım, s.283). Şu halde farklı ilkel terimlerden hareket edilse dahi, aksiyomatik yöntemin yapısı gereği, sistemin içerisindeki ispatlamalar geçerliliğini koruyacaktır. Çünkü ispat, terimlerin anlamlarından hareketle çıkarım yapmayı gerektirmez. Hempel’ın belirttiği gibi: “Görülüyor ki, aksiyomatik bir teorinin ilkel terimlerine belirli anlamlar verme gereği yoktur; bu nedenle, mantıksal olarak kurulan geometrik bir sistemin ilkel terimlerine mantıksal değişken gözüyle bakılabilir” (Hempel; aktaran Yıldırım, s.283). Böylelikle tartışmanın hattı değişerek doğruluk temelli olmaktan çıkmış ve mantıksal bir yapı olarak matematiğin incelenmesine geçiş yapılarak bir tutarlılık tartışmasına dönüşmüştür. Örneğin bu tartışmaların başlamasında etkili bir isim olan Peano’ya göre “…ne aksiyomlar zorunlu, apaçık doğrulardır; ne de ilkel terimler anlamları sezgisel ya da tanımla belirlenebilecek nesnelerdir. İlkel terimlerle onlara ilişkin özellikleri dile getiren aksiyomlar bir kez saptandıktan sonra geriye, teoremleri salt mantıksal yoldan çıkarsama kalır” (Yıldırım, s.113). Bu bağlamda söz konusu tartışmalar, Kant’ın ileri sürdüğü görü temelli matematik inşasından kaçınmaya çalışma çabalarının yanında, matematiksel kesinliğin de mantıksal bir alan olarak matematiğin ele alınması doğrultusunda yürütülmeye başlanmıştır.

5. Matematiğin Mantığa İndirgenmesi

19. yüzyılda matematiğin temelleri bakımından bir dönüşüm yaşanmıştır. Bu dönüşümün dayanak noktasını, Eukleides-dışı geometrilerin olanaklı olduğunun ispatı oluşturmaktadır. Bu durumun iki önemli sonucu vardır: Birincisi, Kant’ın saf görü temelli matematik inşası sarsılarak matematiğin temellerine yönelik farklı yaklaşımlar ortaya çıkmasıdır. İkincisi ise aksiyomların doğruluğu tartışmasının, yerini matematiksel önermelerin biçimsel tutarlılığı tartışmasına bırakmasıdır ki bu bağlamda matematiğin mantığa indirgenmesi çabası gündeme gelmiştir. Söz konusu çaba doğrultusunda matematik, mantık aracılığıyla temellendirilirken matematiksel kesinlik, matematiğin mantıksal formu bakımından söz konusu olmaktadır (Kökcü, 2017, s.307).

Matematiğin mantığa indirgenmesinde en büyük rolü oynayan filozof şüphesiz Gottlob Frege’dir. Matematiği mantığa indirgeme işleminin temellerini Begriffsschritf adlı yapıtında Frege, fonksiyon-argüman yapısı içerisinde atmıştır. Söz konusu eserinde Frege, fonksiyonlar ve değişkenleri biçimsel bir dil içerisinde temsil edilmesini sağlayacak daha geniş bir mantıksal sistem oluşturmuştur ki, bu mantıksal sistem, modern mantığın önemli bir dalı olan niceleme mantığı olarak adlandırılmaktadır (Çitil, 2018, s.35). Frege’nin niceleme mantığıyla birlikte karmaşık matematiksel önermeler ve çıkarımlar açık bir şekilde temsil edilmiş olmaktadır. Bu sayede Frege, matematiğin, mantığın içerisinde yer aldığını göstermeye çalışmıştır (Çitil, s.35). Bu bağlamda Kant’la birlikte sentetik a priori olarak ele alınan matematiksel önermeler, Frege’nin felsefesinde analitik a priori olarak karşımıza çıkmaktadır. Frege’ye göre bir yargının analitik ve a priori olması, söz konusu yargının mantıksal olarak gerekçelendirilmesine ve kanıtlanmasına bağlıdır (Çevik, s.68). Bu gerekçelendirme ve kanıtlama işlemi de fonksiyon-argüman yapısı içerisinde matematiğin mantığa indirgenmesiyle yapılmaktadır. Böylelikle, sentetik a priori yargıların olanağını sağlayan ve saf görü temelinde kurulan matematik yerine, analitik önermelerden oluşan mantıksal matematik anlayışına geçilmiştir.

Matematiğin mantığa indirgenmesi projesini Frege’yi takiben ilerleten diğer bir isim ise Bertrand Russell’dır. Russell, Frege’nin projesini hem devam ettirmiş, hem de ondaki eksiklikleri belirterek matematik felsefesine katkı sağlamıştır. Örneğin Whitehead ile birlikte kaleme aldıkları Principia Mathematica, matematiğin mantığa indirgenmesi çabası doğrultusunda ortaya çıkmıştır. Bu eserin temel kaygısı, “bütün matematiği mantıksal aksiyomlara indirgemek ve onlara dayanılarak doğru olan matematiksel önermeleri kanıtlamaktı” (Çevik, s.73). Şüphesiz bu eser, matematiğin mantığa indirgenmesi hakkında pek çok içeriği barındırmaktadır ancak metnin sınırları çerçevesinde Russell’ın farklı bir yazısından yola çıkarak bu konuyu ele almak daha uygun olacaktır. Matematiğin temellerini mantıksal bir çizelge üzerinden ele alınabileceğini savunan Russell, matematiğin temellerine ilişkin ‘Matematiksel Mantığın Felsefi Önemi’ başlıklı makalesinde, matematiğe yönelik görüşlerini ana hatlarıyla belirtmiştir. Bu bakımdan, söz konusu makaleye daha yakından bakmak gerekmektedir.

Öncelikle Russell, matematiğin mantığa indirgenmesi işlemini matematiksel mantık olarak adlandırarak söz konusu adlandırmanın ne anlama geldiğini açıklamaktadır: “Bundan sonra ‘matematiksel mantık’ ibaresiyle, amacı aritmetiğin ve geometrinin açıkça mantığa dayalı olan kavramlar vasıtasıyla analizi ile tümdengelimli olan herhangi bir mantık kuramını kastedeceğim” (Russell; aktaran Özlük, 2019, s.113). Bu bakımdan matematiksel mantık, aslında bir analiz problemidir ve söz konusu analiz, saf matematiğin işidir. Russell’a göre saf matematik, değişkenler ve sabitlerden oluşması bakımından tamamen biçimsel bir alana işaret etmektedir (Russell; aktaran Özlük, s.124). Bu doğrultuda saf matematiğin çıkarımları, tümdengelim yöntemine dayanmaktadır. Örneğin ‘Bütün insanlar ölümlüdür. Sokrates bir insandır. Öyleyse Sokrates ölümdür. (1)’ önermelerini ele alalım. Açıktır ki, bu önermelerden Sokrates’i çıkartıp yerine başka bir insan adı koymamız durumunda çıkarım doğru kalacaktır. Çünkü bu önermelerden şöyle bir genelleme elde ederiz: “Eğer bütün insanlar ölümlü ise ve eğer x bir insan ise x ölümlüdür” (Russell; aktaran Özlük, 2019, s.105). Söz konusu fonksiyonun doğru olmasının koşulu, ‘x’ değişkeni yerine konulan terimin insan ve ölümlü olma özelliklerine sahip olmasıdır. Yukarıdaki önermeleri (1), saf mantıksal biçime çevirmek için ise tümdengelimi şu biçime indirgemek gereklidir: (2) “x bir a ise a’nın bütün elemanları b’nin elemanı ise bunun ardı sıra x, bir b’dir” (Russell; aktaran Özlük, s.106). Başta ele aldığımız önermeleri (1), mantıksal işleme tabii tuttuğumuz zaman (2), tümdengelimsel çıkarımların temelinde yatan saf mantıksal biçimi elde etmiş oluruz ki bu önermeler, mantıksal matematiğin önermelerini oluşturmaktadır.

Russell aynı zamanda, saf matematiğin önermelerinin doğrudan ispatlanmaksızın bilinebilen önermeler olmaları bakımından mantıksal doğruluğa ulaşılabileceğini belirtmektedir (Russell; aktaran Özlük, s.123). Dolayısıyla saf matematiğin önermeleri analitik olmanın yanında, a priori nitelik de taşımaktadırlar. Bu bağlamda saf matematik, yani matematiksel mantık, hem doğrudan hem de ispatlayarak bilebileceğimiz şeylerin toplamını ifade etmektedir (Russell; aktaran Özlük, s.123). Peki, saf matematiksel önermelerin kesinliği nereden kaynaklanmaktadır? Saf matematik bize, mantıksal doğruların bilgileri verir. Mantıksal doğruların bilgisinin olanağı ise onların, ispata gerek duyulmadan bilinebilen, tanımsal doğruluklar olmasından kaynaklanır. Dolayısıyla Russell’a göre matematiksel kesinlik, önermelerin doğruluğunun tanımsal niteliğine bağlı olarak, önermeler arasındaki mantıksal ilişkiye bağlıdır (Yıldırım, s.95). Bu durumda matematiği mantığa indirgeme projesinin, Kantçı görü temelli matematik inşasından farklı bir hatta ilerleyerek mantıksal formlar doğrultusunda bir matematik anlayışını ileri sürdüğünü söyleyebiliriz.

6. Biçimselcilik

Biçimselcilik, Eukleides-dışı geometrilerin ortaya çıkışıyla beraber yaygınlaşan matematiğin temellerine ve matematiksel önermelerin unsurlarına ilişkin tartışmalardaki yaklaşımlardan biridir. Daha önceki bölümlerde aksiyomların doğruluğu tartışmasının, tutarlılık sorununa dönüştüğünü belirtmiştik. Bu bağlamda biçimselciliğin önemli temsilcilerinden olan David Hilbert’ın görüşlerine, Çağdaş Dönemde matematik felsefesine ilişkin sorunların nasıl bir hatta ilerlediğini görmek açısından, kısaca ve genel hatlarıyla yer vermek faydalı olacaktır.

Aksiyomatik yönteme ilişkin tartışmalar doğrultusunda Hilbert, ortaya koyduğu biçimselci yaklaşımın, matematiksel yöntemin kesinliğini sağlayabileceğini savlamaktadır (Çevik, s.81). Bunu şu şekilde ifade etmiştir: “Teorimin amacı, matematiksel yöntemlerin güvenilirliğini bir daha tartışılmayacak bir kesinlikle ortaya koymaktı… Doğruluk ve kesinliğin kalesi bilinen matematikte herkesin öğrendiği, öğrettiği ve kullandığı tanımlarla dedüktif yöntemlerin yol açtığı saçmalıklara bir bakın! Peki, matematiksel düşünme böylesinde kusurluysa doğruluk ve kesinliği nerede bulacağız?” (Yıldırım, s.137). Bu bağlamda Hilbert, matematiği biçimselleştirme yoluna gitmiştir. Biçimselci yaklaşımda, matematiği mantığa indirgeme çabasında olduğu gibi mantıksal bir zeminden hareket etmek söz konusudur ancak bu mantıksal zemin, matematiğin mantığa indirgenmesi yoluyla ele alınmaz. Hilbert, mantıksal zeminde matematiği biçimselleştirirken uyulması gereken bazı ilkelerden bahsetmektedir. Bunlar şu şekilde ifade edilebilir: “Söz konusu ilkeler, olabildiğince basit [einfach], görüsel [anschaulich] ve kavranılabilir [fasslich] olmalıdır ve bunlar aksiyomlar olarak düzenlenip bir araya getirilmelidir” (Güven, 2020, s.131). Bu bağlamda Hilbert, matematiği mantıksal zeminde biçimselleştirirken aksiyomatik yönteme dayanır fakat bunu kendi koyduğu ilkeler doğrultusunda matematiksel kesinliği sağlamaya çalışarak yapar. Söz konusu kesinliğin temelinde ise daha önce de ele alındığı gibi aksiyomatik sistemin ispata dayanan yapısı yatmaktadır. Şu halde Hilbert’ın aksiyomlara yönelik tartışmaları ispat temelli yaptığını ancak bu tartışmayı aksiyomların doğruluğuna değil, tutarlılığına dayanarak yürüttüğünü söylemek mümkündür.

Biçimselci yaklaşımında Hilbert, matematiksel ifadeleri somutlaştırarak tam-deyim adını verdiği çıkarımlar öbeği haline getirmektedir (Güven, s.132-133). Bu, matematiğin biçimselleştirilmesini ifade ederken tam-deyimlerin aksiyomlardan çıkarsanması doğrultusunda ispat söz konusu olmaktadır. Şu halde bir matematiksel sistemdeki önermelerin tutarlılığı, bahsi geçen sistemdeki tam-deyimlerin biçimsel çıkarım yoluyla ispatlanmaktadır. Başka bir ifadeyle “matematikte bir yandan biçimsel çıkarım yolu ile aksiyomlardan kanıtlanabilen tam-deyim elde edilir. Öte yandan da yeni aksiyomlar eklenip içeriksel çıkarım yoluyla tutarlılıklar kanıtlanır” (Güven, s.134). Bu bağlamda aksiyomların doğruluğu ise matematiksel dizgeye bağlıdır. Dolayısıyla Hilbert’in biçimselciliği, matematiğin dizgesel bir yapı olarak ele alınmasına işaret etmektedir. Bu durumda Hilbert’in biçimciliğiyle alakalı dikkat etmemiz gereken nokta, Kant’ın saf görü temelli matematik inşasından kaçınmak isteyen matematiği mantığa indirgeme projesinden farklı olarak Hilbert’in, mantıksal dizginin olanağı olarak görüsel kavrayışımızı var saymasıdır (Güven, s.146). Hilbert’in biçimselciliğiyle alakalı pek çok şey söylenebilir ancak metnin sınırları çerçevesinde matematiksel kesinlik bakımından Hilbert’in biçimselciliğini şu şekilde özetleyebiliriz: Mantıksal çıkarım doğrultusunda ispatlama yöntemi, matematiksel kesinliği sağlamakla birlikte söz konusu çıkarımların niteliği, matematiksel sistemlerdeki biçimsel dizgelerin dolayımı doğrultusunda belirlenmektedir.

Hilbert’in biçimselciliğinin ardından Kurt Gödel, 1931 yılında yayınladığı bir makale ile biçimsel bir dizgedeki tüm önermelerin ispatlanamaz olduğunu göstermiştir (Kökcü, s.308). Gödel ile birlikte ispatlamanın, matematiksel önermelerin doğruluğu için yeterli olmadığı anlaşılmıştır (Çevik, s.85). Böylelikle matematiksel tutarlılık ve ispata dayalı kesinlik, yeniden düşünülmesi gereken meseleler olarak karşımıza çıkmaktadır.

Sonuç

Matematiksel kesinlik üzerine yaptığımız bu soruşturmada, tarihsel olarak matematiksel kesinlikten ne anlaşıldığını ve beraberinde hangi tartışmaların yürütüldüğünü genel hatlarıyla ortaya koymaya çalıştık. Kısaca bunların üzerinden geçmeden önce, matematiksel kesinliğin, bir tartışma konusu olarak ele alınmasının nedenlerinden bahsetmek faydalı olacaktır. Matematiğin ve geometrinin, çıkarıma dayanması nedeniyle zorunlu ve kesin bilgiler elde edilen alanlar olduğundan söz etmiştik. Bu bağlamda matematiksel kesinliğin mahiyeti, bilginin kesinliği doğrultusunda karşımıza çıkmaktadır. Matematik ve geometri, temele koyulan kendinden gerekçeli ve apaçık önermelere dayanarak ki temel önermelerin bu özellikleri ayrı bir tartışma konusudur, bilginin ortaya konmasında bir başlangıç zemini oluşturmaktadır. Matematiğin felsefeye olan etkisinden de bu bakımdan bahsetmek mümkündür. Söz konusu temel önermelerden, yani aksiyom ve postulatlardan, çıkarımla birtakım önermelere ulaşılır. Aksiyomatik yöntemin bu yapısı doğrultusunda önermeler ispatlanır. Bu bağlamda felsefi düşünüş açısından bakacak olursak matematiksel etkinliğin söz konusu yapısı, filozofların ortaya koydukları iddiaları kesinleştirmelerinde yol gösterici bir unsur olarak karşımıza çıkmaktadır. Dolayısıyla matematiksel kesinliğin niteliği, yalnızca matematikteki ispat temelli yapı açısından değil felsefede ortaya koyulan düşüncelerin temellendirilmesi ve gerekçelendirilmesi bakımından da önemli bir rol oynamaktadır.

Matematiksel kesinliğin; dedüktif çıkarıma, ispatlamaya, önermelerin apaçıklığına ve matematiksel önermelerin niteliğine bağlı olduğunu daha önce belirtmiştik. Bu bağlamda Eukleides’in Öğeler adlı eserinin, geometrinin sistematikleştirilmesi sonucunda matematiğe yönelik genel kavrayışın kökeninde yattığını söylemek yanlış olmayacaktır. Uzun yıllar geçerli bir paradigma olan Eukleides geometrisi, yalnızca matematik ve geometride değil, filozofların kendi kuramlarını ortaya koyarken esinlendiği bir sistem olması bakımından felsefede de tek geçerli geometrik sistem olarak kabul edilmiştir. Öğeler’de Eukleides, belirlediği beş tanım, aksiyom ve postulattan yola çıkarak geometrik teoremleri mantıksal olarak ispatlama çabasını göstermiştir. Eukleides’in sistemindeki aksiyom ve postulatlar, sezgisel olarak kavranılmaları bakımından apaçık olarak görülmüş ve devamında gelen önermelere, mantıksal çıkarımın zorunluluğu nedeniyle kesin gözüyle bakılmıştır. Şu durumda matematiksel kesinlik, teoremlerin dayanağını oluşturan postulatların doğruluğuna bağlıdır. Eğer postulat doğruysa teorem de doğrudur. Bu türden bir doğruluk, empirik bilimlerde olduğu gibi duyu deneyimine bağlı olmadığı ve yeni bilgiler neticesinde yanlışlanabilir olmadığı için, zorunlu ve kesindir. Bu doğrultuda matematiksel kesinliğin bir yanı apaçıklığa dayanırken bir yanı da ispatlamaya dayanmakta ve matematiksel önermelerin yapısına dair fikirlerin ortaya çıkmasına neden olmaktadır.

Matematiksel önermelerin yapısı, çoğunlukla, analitik a priori olarak ele alınmıştır. Yargıların analitik-sentetik ve a priori-a posteriori olması durumunu her filozof kendi kuramı içerisinde çeşitli şekillerde ele almıştır. Özellikle Kant öncesi felsefede yargıların yapısı sorunu, analitik-sentetik ayrımının a priori-a posteriori ayrımına karşılık gelecek şeklinde düşünülmüştür. Bu doğrultuda analitik a priori yargılar; bilgimizi genişletmeyen, totolojik yapıda, zorunlu, deneyim temelli olmayan özellikteyken sentetik a posteriori yargılar; bilgimizi genişleten, deneyimden hareketle ulaşılan, olumsal yargılar olarak karşımıza çıkmaktadır. Kant’la birlikte ise yargı sorunu, özne-yüklem bağıntısı doğrultusunda ele alınmış ve analitik yargıların yalnızca a priori olabileceği düşüncesi ile sentetik yargıların yalnızca a posteriori olabileceği düşüncesi değişmiştir. Yani Kant, yeni bir yargı formu ortaya koymuştur: Sentetik A priori. Söz konusu yargı formu, deneyim temelinde oluşmayan fakat deneyime uygulanabilen bir yapıdadır. Bu bağlamda matematiğin ve geometrinin önermeleri sentetik a priori formdadır. Buradaki belirleyici nokta, sentetik a priori yargıların olanağının, üçüncü bir unsur olan görüye dayandırılmasıdır. Şu halde matematiğin ve geometrinin önermeleri, uzam ve zaman formlarından hareketle saf görü doğrultusunda meydana gelmektedir. Dolayısıyla Kant, görü temelli bir matematik inşası ortaya koyarak matematiksel önermelerin yapısının, sentetik a priori olduğunu ileri sürmüştür. Nitekim Kant’ın bu savı, Eukleides-dışı geometrilerin olanağı kanıtlandıktan sonra sarsılmaya başlamıştır. Eukleides-dışı geometriler, tek geçerli ve olanaklı geometri olduğu sanılan Eukleidesçi sistemin, beşinci postulatının değiştirilmesi sonucunda tutarlı farklı geometrik sistemlere imkan tanımasıyla birlikte meydana gelmiştir. Böylelikle matematiksel kesinliğe ve matematiğin temellerine yönelik tutumlar, ki bunları geometriden bağımsız değildir, bir sorunsal olarak karşımıza çıkmıştır. Artık aksiyomların doğruluğu değil, sistemlerin tutarlılığı tartışmanın odağını oluşturmaktadır.

Eukleides-dışı geometrilerin ardından Kant’ın görü temelli matematik inşası bir sorun haline gelmiş ve filozoflar farklı yaklaşımlar ortaya koymaya çalışmıştır. Bunlardan biri matematiği mantığa indirgeme projesidir. Bu projeyle birlikte matematiğin mantıksal bir zemine oturtulması doğrultusunda doğruluk, tutarlılık ve kesinlik tartışmaları yürütülmüştür. Matematiği mantığa indirgemeye çalışan filozoflar için matematiksel kesinliği sağlayan şey, önermeler arasındaki mantıksal ilişkilerdir. Dolayısıyla bir önerme, yalnızca analitik olması bakımından kesinliğe sahip olamaz; aksine, diğer önermelerle mantıksal ilişkisi bağlamında kesin bir önerme olarak yorumlanabilir. Söz konusu yaklaşımlardan biri de Hilbert’in biçimselciliğidir. Bu yaklaşımında Hilbert’in amacı, matematiksel yöntemlerin güvenilirliğini ve gerekçelendirilmesini ortaya koymaya çalışmıştır.  Hilbert, matematiği biçimselleştirerek mantıksal bir dizge olarak tasarlamıştır. Başka bir ifadeyle Hilbert, matematiğin temellendirilmesini, matematiği mantığa indirgeme yoluyla değil, simgesel aksiyomatik bir yapıya dönüştürerek sağlamaya çalışmıştır.[4] Bu bağlamda matematiksel sistemlerin tutarlılığı sorunu da, yine bu aksiyomatik dizgeye dayalı yapı doğrultusunda ispatlanmaya çalışılmıştır. Biçimselci yaklaşımda matematiksel kesinlik, her aksiyomatik yöntemde olduğu gibi, mantıksal çıkarımların ispatlanabilir yapısına dayanmaktadır. Nitekim Hilbert’ten sonra Gödel, matematiksel sistemlerin tutarlılığı sorunun sanıldığı kadar kolay çözülemeyeceğini ortaya koymuştur. Dolayısıyla matematiksel tutarlılık ve buna dayanan kesinlik sorunu, halen tartışılan bir sorundur.

O halde metinde, matematiksel kesinliğe yönelik tutumları ana hatlarıyla açıklayıp bu bağlamda ilerleyen tartışmaların çeşitliliğine değindikten sonra matematiksel kesinliğin mahiyetine ilişkin bir sonuç çıkarabiliriz. Matematiksel kesinliği hem matematiğin temelleri, matematiksel önermelerin yapısı hem de aksiyomların doğrulu ve tutarlılığı gibi bakımlardan ele alalım, kesinlik sorunu her zaman tartışmalı ve sorgulamaya açık bir alan olarak karşımıza çıkacaktır. Konuyu kesinlik arayışı doğrultusunda özetleyecek olursak Russell’ın şu sözlerine bakabiliriz: “Matematik dünyasını üzerine oturtmak için bir fil inşa ettiğimde, filin sendelediğini gördüm. Fili boşluğa düşürmekten kurtarmak için bir kaplumbağa inşa ettiğimde, kaplumbağanın daha da dayanaksız olduğu ortaya çıktı. Çeyrek yüzyıl süren aralıksız, yoğun bir çalışma sonucunda anladım ki, matematiği daha sağlam bir temele oturtma yolunda yapabileceğim fazla bir şey yoktur” (Yıldırım, s.103).

---

Kaynakça

• Barker, S. F. (2017). Matematik Felsefesi. Yücel Dursun (Çev.). İstanbul: İmge Kitabevi.
• Çelik, S. (2015). Yeniçağda Bilgi Felsefesi. Doruk Yayınları.
• Çitil, A. (2018). Çağdaş Felsefe I. Semiha Akıncı (Ed.). Eskişehir: Anadolu Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi Yayınları.
• Çevik, A. (2019). Matematik Felsefesi ve Matematiksel Mantık. İstanbul: Nesin Yayıncılık.
• Dursun, Y. (2015). Felsefe ve Matematikte Analitik/Sentetik Ayrımı. İstanbul: İmge Kitabevi.
• Gür, B. (Der.). (2011). Matematik Felsefesi. Ankara: Kadim Yayınları.
• Güven, Ö. (2012). Kant, Bolzano ve Frege’de Yargıların Temellendirilmesi ve A Priorilik Sorunu. (Yayımlanmamış doktora tezi). İstanbul: İstanbul Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Felsefe Anabilim Dalı.
• Güven, Ö. (2016). Apaçık Olmak Ne Demek?. V. Mantık Çalıştayı 15-17 Mayıs 2015 Bildiri Kitabı içinde (s.181-198). İstanbul: Sentez Yayıncılık.
• Güven, Ö. (2020). Hilbert, Matematiğin Temelleri ve Görü. Felsefe Arkivi 52. Sayı içinde (s.113-149). İstanbul: İstanbul Üniversitesi Yayınları.
• Hempel, C. G. (2019) Matematiksel Doğruluğun Niteliği. Cemal Güzel (Çev.). Matematiksel Düşünme içinde (s.258-275). İstanbul: Remzi Kitabevi.
• Hempel, C. G. (2019). Geometri ve Empirik Bilimler. Cemal Güzel (Çev.). Matematiksel Düşünme içinde (s.276-290). İstanbul: Remzi Kitabevi.
• Hospers, J. (2017). Analitik Felsefeye Giriş. Şahin Filiz (Çev.). Ankara: Adres Yayınları.
• Kant, I. (2015). Arı Usun Eleştirisi. Aziz Yardımlı (Çev.). İstanbul: İdea Yayınevi.
• Kökcü, A. (2017). Euclid Dışı Geometrilerin Matematik Tarihi ve Felsefesindeki Yeri. Özne 27.Kitap – Güz 2017: Hegel içinde (s.295-309).
• Musgrave, A. (2013). Sağduyu, Bilim ve Şüphecilik: Bilgi Kuramına Tarihsel Bir Giriş. Nur Küçük (Çev.). İstanbul: İthaki Yayınları.
• Russell, B. (2011). Matematiksel Mantığın Felsefi Önemi. Muharrem Özlük (Çev.) Matematik Felsefesi içinde (101-112). Ankara: Kadim Yayınları.
• Sertöz, A. S. (2018). Öklid’in Elemanları. Ali Sinan Sertöz (Çev.). Ankara: Bilkent Üniversitesi Matematik Bölümü.
• Yıldırım, C. (2019). Matematiksel Düşünme. İstanbul: Remzi Kitabevi.

---

Dipnotlar

• [1] Matematiksel önermelerin, hangi türden yargılar olduğu tartışması, filozoflar tarafından halen tartışılan bir problemdir. Metnin ‘Matematiksel Önermelerin Yapısı’ başlıklı üçüncü bölümünde söz konusu tartışma daha detaylı bir şekilde ele alınacaktır.
• [2] Metnin ‘Eukleides-Dışı Geometriler’ başlıklı bölümünde beşinci postulat sorunu daha detaylı bir şekilde ele alınacaktır.
• [3] Bu eser Türkçeye Elementler olarak da geçmiştir.
• [4] Cemal s.133

---

Not: Bu içerik ilk kez 2020 yılında yayınlanan Öncül Analitik Felsefe Dergisi’nin (tükenen) 5. sayısında yayınlanmıştır.