Bayescilik – Thomas Metcalf

Editörün notu: Birçok okuyucu açısından Bayesciliğe dair bu giriş yazısı, öncelikle Thomas Metcalf’ın Olasılık Hesabına Giriş isimli eseri okunduktan sonra daha verimli bir şekilde anlaşılacaktır.

Bayescilik, inanç veya doğrulama derecelerinin, olasılıklarla temsil edilebileceğini ve belirli bir kurallar dizisine uyup uymadıklarını görerek inanç derecelerinin –itimatların– rasyonelliğini değerlendirebileceğimizi öne sürer.[1] Bu makale, Bayesciliğe bir giriş niteliği taşır.[2]

1. Bir Örnek

Standart olarak karıştırılmış bir desteden rastgele bir kart çektiğinizi ve karta bakmadan ön yüzü arkaya bakacak şekilde masaya koyduğunuzu varsayalım. Bu Kapalı Kartın bir as olma olasılığı nedir?

Standart bir destede bulunana elli iki kart arasında dört as bulunur ve her bir kartın desteden çekilme olma olasılığı birbirine eşittir, yani olasılık 4/52 veya yaklaşık %7.7’dir.

Bu %7,7’lik oran, desteden daha fazla kart çekmeden önce, Kapalı Kartın bir as olma olasılığıdır.

Şimdi, Kapalı Kartı görünmeden bırakarak, desteden on kart daha çektiğinizi ve onlara bakınca hiçbirinin as olmadığını gördüğünüzü varsayın. Bu durumda dört as da dahil olmak üzere, görüntülenmemiş kırk iki kart kalır: Destede kırk bir kart ve Kapalı Kart.

Bu durumda Kapalı Kartın bir as olma olasılığı nedir? Artık kırk iki görüntülenmemiş kart, on görüntülenen kart (hiçbiri as değildir) ve hala kırk iki görüntülenmemiş kart arasında dört as vardır. Yani olasılık 4/42 ≈ % 9.5.[3]

Buradaki “%9,5”, Kapalı Kartın bir as olma olasılığının sonraki olasılığıdır; yani on as olmayan karttan elde ettiğimiz kanıtın toplanmasından sonra ortaya çıkan orandır.

Dolayısıyla Yüzüstü Kartın bir as olma olasılığı %7,7’iken, daha sonra elde ettiğimiz yeni kanıtlar neticesinde bu olasılık %9.5 olmuş olur.

2. Olasılıklar ve İtimatlar

Bayesciler, kişisel olasılıklardan da bahseder. Bunlar; belirli bir kişi tarafından elde edilen inanç, itimat, güven veya gerekçe dereceleridir.[4] Örneğin bir H hipotezinden eminsem, o halde H’ye %100 veya yanlış olduğundan eminsem, o halde %0 güvenim vardır.

Kartlarla ilgili hikayeye dönecek olursak, Kapalı Kartın bir as olduğuna dair %7,7’lik bir inançla başlamak rasyonel görünebilir.[5] Ancak on as olmayan kartı çektikten sonra, Kapalı Kartın bir as olduğuna dair inancınızı %9.5’e güncellemek de rasyonel olacaktır.[6]

3. Bayes’in Kuralı

Kapalı Kartın bir as olacağına dair inancınız belirli bir noktadan (%7.7) başlamalı ve daha sonrasında yukarıda gördüğümüz gibi yeni kanıtlar ışığında değişmelidir. Bu değişme nasıl olmalıdır?

Aşağıdaki yanıt, Bayesciliğin tanımlayıcı bir ilkesidir:

Bayes’in Kuralı: E₁ kanıtını elde ederseniz, o halde H hipotezindeki (E₁’i öğrendikten sonra) yeni itimatınız P_NEW(H), eski itimatınız olan P_OLD(H|E₁)’e eşit olmalıdır; yani, E₁‘in doğru olduğu göz önüne alındığında H olasılığıdır.[7]

İtimatlarınız, daha önce P_OLD(H) = %7,7 ve P_OLD(H|E₁) = %9,5 olan olasılık işlevi P_OLD tarafından elde edilmişti. E₁’i öğrendiğinizde ise, inançlarınızı P_NEW(H) = P_OLD(H|E₁) = %9.5 olan yeni bir olasılık fonksiyonu P_NEW ile güncellemiş olursunuz.

Sonrasında daha fazla kanıt elde ettiğimizde (örneğin daha fazla kart çekerek), daha da yeni bazı kanıtlara ve E₂’ye dayalı daha ileri hesaplamalar için P_OLD(H|E₁) = P_NEW(H)’yi, P(H) olarak ele alırız. Buradaki P_OLD(H|E₂) terimi, E₃ vb. ile karşılaştığımız zaman, yeni P(H) olacaktır.

Bu süreçle birlikte rasyonel biliciler, bazı hipotezlere olan inançlarını tekrar tekrar güncellemiş olurlar.[8]

4. Bayes’in Teoremi

Bayes’in Kuralına sahip olmak güzel olsa bile, onu kullanmak büyük bir soruyu yanıtlamayı gerektirir: P(H|E)’yi nasıl hesaplarız? Yani, kanıtlarımızla karşılaştıktan sonra hipotezimize hangi itimatı koyacağımızı nasıl bilebiliriz?

Neyse ki elimizde Bayes’in Teoremi bulunmaktadır.[9] Her ne kadar teoreminin birkaç faydalı versiyonu mevcut olsa bile, biz buradakini tartışmaya çalışacağız:[10]

Bayes’in Teoremi:[11] P(H|E) = P(E|H) × P(H) / P(E), P(E)’de ≠ 0.

Teorem bize, E kanıtı elde edildikten sonra, H hipotezine hangi itimatı verebileceğimizi söyler. Buradaki itimat, görebileceğiniz gibi, H ve E’nin önceki (E ile karşılaşmadan önce) olasılıklarına ve olası olan[12] P(E|H)’ye dayanır. H göz önüne alındığında, E’nin söz konusu olması o kadar olasıdır.

Bu teorem, sezgiseldir:

• Kanıt ne kadar şaşırtıcıysa -yani P(E)’nin önceki olasılığı ne kadar düşükse- kanıt o kadar fazla hipotezi destekler ve P(H|E)’nin olasığı o kadar yüksek olur.
• Hipotez ne kadar olasıysa -yani önceki P(H) olasılığı ne kadar yüksekse- E ile karşılaştıktan sonraki de o kadar olası olmalıdır. Yani daha yüksek olasılıklı P(H|E).
• Ve hipotez kanıtları ne kadar iyi tahmin ederse -yani H’ye verilen E’nin olasılığı olan P(E|H) ne kadar yüksek olasılıklı olursa, E’yi elde ettikten sonraki H olasılığı da o kadar yüksek olmalıdır. Yani daha yüksek P(H|E).

5. Bayes’in Teoremini, Kart Örneğine Uygulamak

Kapalı Kartın bir as olduğu hipotezi “A” ve desteden hiçbiri as olmayan on kart çektiğiniz “T” kanıtını düşünelim. Yani P(A|T) bilmek istiyoruz. Değerlendirelim:[13]

• P(A)’yı zaten hesaplamıştık: On kartı çekmeden önce Kapalı Kartın bir as olma olasılığı yaklaşık %7.7’dir.
• Kapalı Kartımız bir as ise, yani A hipotezi göz önüne alındığında; daha fazla kartı desteden çekmeden önce 51 kartınız kalmıştır ve bunlardan üçü astır. Üç as içeren 51 kartlık bir desteden on as olmayan (yerine koymadan) kart çekme olasılığınız P(T|A) hesaplanabilir ve bu yaklaşık %51,2’dir.[14]
• Elli bir karttan on tane as olmayanı çekme olasılığınız olan P(T), yaklaşık %41.3’tür.[15]

Yani hesapladığımızda:

P(A|T) = P(T|A) × P(T) / P(A) ≈ 0,512 × 0,413 / 0,077 ≈ 0,095 = %9,5’dir.

Nitekim yukarıdaki Bölüm 1’de ifade edilen şey budur: Kurallara uymak, doğru olan nihai itimata ulaşmanıza yol açar.

Kartlarla ilgili hikayede P(A|T) için kolay bir hesaplama bulunur. Oysa gerçek hayatta genellikle önceliğe ve bir olasılığa erişimimiz bulunmakla beraber, sonrasını hesaplayabilmek o kadar da kolay değildir[16] ve bu durumlarda Bayes’in Teoremi son derece faydalıdır.

6. Sonuç

Bayescilik, çok çeşitli disiplinlerde önemli bir popülariteye ve birçok faydalı uygulamaya sahiptir.[17] Bununla birlikte Bayesciler arasında mevcut birçok anlaşmazlık noktası ve genel teori için zorluklar da bulunur.[18]

---

Dipnotlar

• [1] Ana kurallar olan Kolmogorov aksiyomları ve Bayes’in Kuralı için aşağıya bakınız. Kesin bir dille konuşacak olursak olasılıkçılık (inançların Kolmogorov olasılık aksiyomlarına uyması gerektiği görüşü), epistemik Bayesçiliğin bir ilkesi olmakla beraber tek ilke değildir. Bkz. Joyce (2005, s. 153). Bu kurallar ve aksiyomlar hakkında daha fazla bilgi için Thomas Metcalf’ın Olasılık Hesabına Giriş bölümüne bkz. Ayrıca Bayescilik bilimde; özellikle istatistikteki olasılıkların kişisel veya inanca benzer (nesnel, fiziksel değil) olasılıklar olarak anlaşılması gerektiğini öne sürer; bkz. Weisberg (n.d., bölüm 15) ve Thomas Metcalf’ın Olasılık Yorumları.
• [2] Bayescilik, adını filozof ve istatistikçi olan Rev. Thomas Bayes’ten (c. 1701-1761) almıştır ve bu teorem 1763’te ortaya çıkmıştır (Bayes & Price, 1763). Bayescilik ve Bayesci epistemoloji üzerine yeni giriş veya genel bakış çalışmaları için ayrıca bkz. Hacking (2001), Joyce (2005), Howson & Urbach (2006), Steinhart (2009, bölüm 5), Weisberg (2011), Carr (2013), Huber (2019), Huber (n.d.), Schupbach (2022) , Talbott (2022) ve Weisberg (n.d.).
• [3] Bunun kafa karıştırıcı olması durumunda farklı sıralanmış bir süreç içerisinde düşünebilirsiniz: Bir desteden on as olmayanı çıkardığımızı varsayalım ve kalan kırk iki kartlık desteyi karıştıralım. Sonrasında ek bir kart çekelim ve yüzü kapalı olacak şekilde koyalım. Bu durumda orijinal işlemde olduğu gibi o kapalı kart (4/42)’ın bir as olma olasılığı yüksek olacaktır.
• [4] Olasılık türleri hakkında daha fazla bilgi için Thomas Metcalf’ın Olasılık Yorumları’na bakınız. Söz konusu olasılık için ayrıca bkz. Hacking (2001, bölüm 13–15), Steinhart (2009, bölüm 7.2), Huber (2019, bölüm 7–8), Shupbach (2022, s. 1), Talbott ( 2022, bölüm 2) ve Weisberg (n.d., pt. III). Birinin itimat derecesini ölçmenin bir yolu, hangi bahislerin adil olduğunu düşündüklerini görmektir; örneğin bkz. Weisberg (n.d., bölüm 16.1).
• [5] Bu, Lewis’in (1980) “Ana İlke” dediği şeyden kaynaklanır: Eğer bir sonucun olasılığının p olduğunu biliyorsanız, o sonucun meydana gelmesinden yaklaşık olarak p- itimatlı olmanız gerekir (cf. Schupbach, 2022, s. 55). Kurallara uymanın rasyonelliğini tartışmanın popüler bir yolu, kurallara uymazsanız, tüm paranızı kumara “yatırabileceğinizi” iddia etmektir. Bu argümanlara bazen “Dutch Book Argümanları” [Bir kişiyi, başlangıçta bulunduğu duruma göre zarara uğratmak] denir. Talbott (2022, bölüm 3) ve Vineberg (2022) ile birlikte Daniel Peterson’ın Dutch Book Argümanları’na bkz.
• [6] Bazı Bayesciler “öznel” bazıları ise “nesnel Bayesciler”dir (Weisberg, 2011, bölüm 3). Öznel Bayesciler için yalnızca Kolmogorov’un olasılık aksiyomlarına uyan itimatlara sahip olmanız gerekirken (bkz. Thomas Metcalf’ın Olasılık Hesabına Giriş), nesnel Bayesciler içinse, kişinin önceki olasılıkları üzerinde daha fazla rasyonel sınırlandırmalar bulunur. Örneğin daha fazla kanıt toplamadan önce, H hipotezinden belirli miktarda emin olmanız gerekir (Howson & Urbach, 2006; Talbott, 2022, bölüm 4.2.F). Öznel Bayesciler, uzun vadede (Schupbach, 2022, bölüm 2.2.3), kanıtınızı doğru bir şekilde koşullandırmaya devam etmenizi ve böylelikle itimatınızı nesnel olarak doğruya daha da yaklaştıracağınızı savunurlar. Joyce’un (2005, s. 157-158) gözlemlediği gibi, gerçek hayattaki Bayescilerin çoğu, bazı öznel yargıları kabul eder ve diğerlerinin nesnel olmasını talep ederler. Weisberg (2011, Kısım 3)’de, öznellik ve nesnelliğin bir süreklilik içerisinde olması gerektiği konusunda hemfikirdir. Öznelliğin ilgi çekici bir eleştirisi, yani bir tür şüpheciliğe yol açması (veya neden olması) için bkz. Huemer (2017, bölüm 3).
• [7] Bu kurala bazen “koşulsallaştırma” denir. Bkz. Steinhart (2009, s. 129) ve Schupbach (2022, s. 37). Bunu “koşulsallaştırmanın basit ilkesi” olarak adlandıran Talbott (2022)’a de bkz .(bölüm 2). Koşullu olasılığı hesaplamanın bir yolu aşağıdaki denklemdir: Koşullu Olasılığın Tanımı: P(A|B) = P(A&B) / P(B). Koşullu olasılık hakkında daha fazla bilgi için bkz. Thomas Metcalf’ın Olasılık Hesabına Giriş isimli eseri.
• [8] Tamamen rasyonel bir varlığın bu süreci kullanacağını hayal ettiğimizi belirtmekte fayda vardır. Gerçek hayatta Bayes’in Kuralını hiç duymamış olan ve sonraki olasılıklarını bir yüzde puanının yüzde birine kadar tam olarak doğru sayıya ayarlayamayan, temelde birçok rasyonel varlık vardır. Yine de Bayesciler, Bayes’in Kuralını tam olarak takip etmeye ne kadar yakın olursanız, daha sonraki itimatlarınızın o kadar doğru olacağına inanırlar.
• [9] Bayes’in Teoremi’nin bir başka versiyonu (birbirini dışlayan ve birlikte ayrıntılı H₁ ve H₂ hipotezleri için): P(H₁|E) = P(E|H₁) × P(H₁) / [P(E|H₁) × P( H₁) + P(E|H₂) × P(H₂)]. “H₂“yi “H₁-olmayan” ile değiştirebileceğimize dikkat edin. Bu durumda bahsi geçen versiyon, özellikle daha kullanışlı olur. (Bu versiyonun Toplam Olasılık Yasasından çıktığını fark edebilirsiniz: P(E) = P(H₁&E) + P(H₂&E) = P(E|H₁) × P(H₁) + P(E|H₂) × P (H₂). Thomas Metcalf’ın Olasılık Hesabına Giriş isimli eserine bkz.)
• Yine bir başka versiyon olan Bayes’in Teoremi (“İhtimaliyet Formu”) (birbirini dışlayan iki hipotez için): P(H₁|E) / P(H₂|E) = [P(H₁) × P(E|H₁)] / [ P(H₂) × P(E|H₂)], burada P(H₂), P(H₂|E) ve P(E|H₂) ≠ 0. Bunun Bayes’in Teoreminin standart veya “olasılık” biçiminden ve iki hipotezin birbirini dışlamasından kaynaklandığını görebilirsiniz. (Downey, 2012, bölüm 5.2). Eğer P(H₁|E) = P(E|H₁) × P(H₁) / P(E) ise, her iki tarafı da P(H₂|E) ile bölerek P(H₁|E) / P(H₂’yi verebiliriz. |E) = [P(E|H₁) × P(H₁)] / [P(E) × P(H₂|E)]. O halde Bayes’in Teoremi: (standart veya olasılık formu), P(H₂|E) × P(E) = P(E|H₂) × P(H₂) ile beraber sırayla; “P(E) × P(H₂|E)” yerine “P(E|H2) × P(H2)” koyabilir ve Bayes’in Teoreminin yukarıda bahsedilen İhtimaliyet Formunu elde etmiş oluruz. Bazen bu durumda E’ye verilen H₁’in “oranlarından” da bahsederiz. Bu, sadece P(H₁|E) / P(H₂|E) ve H₁’in “oranları” olan P(H₁) / P(H₂)’dir. . Buna karşın E’ye verilen H₁‘e karşı H₂‘nin O(H₁|E) oranları, H₁‘in O(H₁) oranlarının çarpı P(E|H₁) olasılıklarının P(E|H₂) oranına eşit olacaktır. Bu nedenle son olarak bazen “O(H₁|E) = O(H₁) × [P(E|H₁) / P(E|H₂)]” yazarız.
• [10] En yaygın olarak tartışılan versiyondur. Çünkü kısmen ifade etmesi çok basit ve kısmen de tam olarak bilmek istediğimiz şeye uzak olduğu içindir; E kanıtıyla karşılaştığıma göre H hipotezimden ne kadar emin olmalıyım?
• [11] Bu teoremin bir birleşme olasılığı kuralından çıktığını görebilirsiniz; bkz. Thomas Metcalf’ın Olasılık Hesabına Giriş isimli eseri. Bağlaç değişimi olduğundan, P(H&E) = P(E&H). Bağlaç kuralına göre, P(H&E) = P(H) × P(E|H) ve aynı kurala göre, P(E&H) = P(E) × P(H|E). Bunları eşitlikle yerlerine koyduğumuzda, P(H) × P(E|H) = P(E) × P(H|E)’yi elde ederiz  ve biraz cebirle birlikte, P(H|E) = P (E|H) × P(H) / P(E) olur.
• [12] Sıradan İngilizcede, sıklıkla “İhtimaliyet” ve “olasılık” kelimelerini birbirinin yerine kullanmakla beraber, Bayeci paradigma söz konusu olduğunda “olasılık” teknik bir terim olarak ifade edilir ve H hipotezi göz önünde bulundurulduğunda, söz konusu kanıt E’nin aşağıdaki durumlarda ortaya çıkma olasılığı P(E|H) anlamında kullanılır. (Talbott, 2022, bölüm 4.1).
• [13] Başlangıç olarak genellikle bu terimlerden en az birinin, özellikle de öncekilerin eksik olduğunu görürüz. Ancak önceliklerden biri ve artı iki olasılık mevcutsa, genellikle Toplam Olasılık Yasasını kullanarak diğerini öncelikli olarak alabiliriz: P(A) = P(A|B) × P(B) + P(A| ¬B) × P(¬B). (P(¬B) = 1 – P(B) olduğunu tekrar düşündüğümüzde, diğerini biliyor olsak dahi, bu koşulsuz olasılıklardan birini elde edebiliriz.) Bkz. Weisberg (n.d., s. 72–73) Bunun bir uygulama örneği olarak, 14 numaralı dipnota bkz.
• [14] Herhangi bir değişikliğe gitmeden bir kümeden çizim yaptığımızda, olasılığı hesaplamak için Hipergeometrik Dağılımı kullanırız (Weisstein, n.d.). Hipergeometrik hesaplamaları, çevrimiçi olarak yapmak mümkündür (Stat Trek, n.d.; Wolfram|Alpha Widgets, 2019). Bu örnekte, 3 başarılı ve 48 başarısız olan 51 kişilik bir popülasyon ve 10’luk bir örneklem büyüklüğü vardır. Örneklemde sıfır başarı elde etme olasılığı yaklaşık 0,511884754 veya yaklaşık %51,2’dir.
• [15] Hipergeometrik Dağılım (Weisstein, n.d.) artı bir miktar olasılık hesabını kullanabiliriz (Thomas Metcalf’ın Olasılık Hesabına Giriş bölümüne bakınız). Kapalı Kartın önceden 4/52 as olma ve 48/52 as olmama olasılığı vardır. Eğer as ise, bu popülasyonda üç, değilse o zaman dört tane başarı vardır. Hipergeometrik Dağılım göz önüne alındığında, popülasyonda dört başarı varsa, on çekilişte sıfır as çekme olasılığı yaklaşık 0.405’tir. Benzer şekilde üç başarı varsa, yaklaşık oran 0,512’dir. Şimdi, A ve ¬A’nın birbirini dışlayan ve birlikte ayrıntılı olduğu göz önüne alındığında, P(T) olasılığı P(T&A) + P(T&¬A)’ya eşit olmalıdır. Bunun nedeni, P(A ∨ ¬A) = 1 olmasıdır ve dolayısıyla bağlaçlar kuralına göre, P((A ∨ ¬A) & T) = P(T)’dir. Temel mantıkla ((A v ¬A) & T), mantıksal olarak ((A & T) ∨ (¬A & T)’ye eşdeğerdir. O halde P(T) = P((A & T) v (¬A & T)) (cf. Weisberg, n.d., s. 214). Burada iki aralık olduğu için, P(T) = P(A&T) + P(¬A & T)’dir. Buna karşılık bağlaç kuralına göre, P(T&A) + P(T&¬A) = P(T|A) × P(A) + P(T|¬A) × P(¬A) = (4/ 52) × 0.405 + (48/52) × 0.512 ≈ %41.3 olur. (Karşılıklı dışlayıcı, ortak kapsamlı hipotezler ve Bayes’in Teoreminin türetilmesi için, yukarıdaki 8 numaralı dipnota bkz. Daha fazla açıklama içinse, yukarıdaki 12 numaralı dipnota bkz. Ayrıca bkz. Thomas Metcalf, Formal Logic: Symbolizing Arguments in Sentential Logic.)
• [16] Felsefede öne çıkan bir örnek, Hassas Ayar Argümanıdır. Evrenin yaşama izin verdiği dünyaların sayısını araştırmak ve Tanrı’nın var olma oranını elde edebilmek için hiçbir yolumuz yoktur. Ancak yaşam izniyle karşılaşmadan önce, teizmden ne kadar emin olmamız gerektiğini tahmin edebiliriz; evrenin yaşama izin vereceğine dair teizmin bize vermesi gerektiğinden ne kadar eminiz ve evrenin yaşama izin vereceği konusunda bize ateizm vermesi gerektiğinden ne kadar eminiz. Bayes’in Teoreminin bir versiyonunu kullanarak (yukarıdaki 8 numaralı dipnota bakınız), Tanrı’nın var olduğuna dair yaşam izni verilen olasılığı tahmin edebiliriz: P(G|L) = P(L|G)P(G) / [P(L|G)P(G) + P(L|¬G)P(¬G)]’deki gibi. Bu argüman hakkında daha fazla bilgi için Thomas Metcalf’ın Tanrı’nın Varlığı için Hassas Ayar Argümanı’na bakınız.
• [17] Bilimde Bayesci mantık, istatistiksel analizleri yürütmek için yaygın olarak kullanılır (Baig, 2020; Kelter, 2020; Tanguy, 2020; cf. Romeijn, 2022). Felsefede, din felsefesinde (Draper, 1989; Swinburne, 2004; Collins, 2009) ve karar teorisinde (Jeffrey, 1983; Weisberg, 2022, sek. 6.1) de yaygın olarak kullanılmaktadır. Epistemologlar ve bilim felsefecileri, Bayesciliği ve onun epistemoloji ve bilim felsefesindeki uygulamalarını (Joyce, 2005; Talbott, 2022; Weisberg, 2022), bilim felsefesindeki geleneksel problemler de dahil olmak üzere (Rinard, 2014) incelerler.
• [18] Bayesciler arasında görülen bir anlaşmazlık, ne dereceye kadar öznel veya nesnel Bayesci olmamız gerektiği hususundadır. Yukarıda 5 numaralı dipnota bkz. Belirsiz Kanıtların Önemli Sorunları, Eski Kanıtlar ve Öncüller de dahil olmak üzere Bayescilik için bulmaca veya problem örnekleri için bkz. Talbott (2022, bölüm 6.2). Buna karşılık Kayıtsızlık İlkesi üzerindeki tartışma (Keynes, 1921, s. 52–53), daha önce bahsedilen Öncekiler Problemi ile yakından ilgilidir (karş. Huemer, 2009, bölüm 2; Schupbach, 2022, bölüm 2.4; Weisberg, n.d., bölüm 18). Bayesciliğin sıklıkcılığa karşı genel bir açıklaması için Weisberg’e (n.d., pt. III) ve hipotez testinde Bayesciliğin üstünlüğüne ilişkin bir argüman için Tanguy’a (2020) bakınız.

---

Kaynakça:

• Baig, Sabeeh A. (2020). Bayesian inference: An introduction to hypothesis testing using Bayes factors. Nicotine & Tobacco Research, 22(7), 1244–1246.
• Bayes, Mr. and Price, Mr. (1763). An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 53, 370–418.
• Carr, Jennifer Rose. (2013). Justifying Bayesianism. [Unpublished doctoral dissertation]. Massachusetts Institute of Technology.
• Collins, Robin. (2009). The teleological argument: An exploration of the fine-tuning of the universe. In Craig, W. L. & Moreland, J. P. (eds.), The Blackwell Companion to Natural Theology (pp. 202–281). Wiley-Blackwell.
• Downey, Allen B. (2012). Think Bayes: Bayesian Statistics Made Simple. Green Tea Press.
• Draper, Paul. (1989). Pain and pleasure: An evidential problem for theists. Noûs, 23(3), 331–350.
• Hacking, Ian. (2001). An Introduction to Probability and Inductive Logic. Cambridge University Press.
• Howson, Colin & Urbach, Peter. (2006). Scientific Reasoning: The Bayesian Approach (3rd ed.). Open Court Publishing.
• Huber, Franz. (2019). A Logical Introduction to Probability and Induction. Oxford University Press.
• Huber, Franz. (N.d.). Confirmation and induction. In J. Fieser & B. Dowden (eds.), The Internet Encyclopedia of Philosophy.
• Huemer, Michael. (2009). Explanationist aid for the theory of inductive logic. The British Journal for the Philosophy of Science, 60(2), 345–375.
• Huemer, Michael. (2017). There is no pure empirical reasoning. Philosophy and Phenomenological Research, 95(3), 592–613.
• Jeffrey, Richard C. (1983). The Logic of Decision (2nd ed.). University of Chicago Press.
• Joyce, James M. (2005). How probabilities reflect evidence. Philosophical Perspectives, 19(1), 153–178.
• Kelter, Riko. (2020). Bayesian alternatives to null hypothesis significance testing in biomedical research: a non-technical introduction to Bayesian inference with JASP. BMC Medical Research Methodology, 20, Article 142.
• Lewis, David K. (1980). A subjectivist’s guide to objective chance. In R. C. Jeffrey (ed.), Studies in Inductive Logic and Probability, Volume II (pp. 263–293). University of California Press.
• Rinard, Susanna. (2014). A new Bayesian solution to the Paradox of the Ravens. Philosophy of Science, 81(1), 81–100.
• Romeijn, Jan-Willem. (2022). Philosophy of statistics. In E. N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2022 ed.).
• Steinhart, Eric. (2009). More Precisely: The Math You Need to Do Philosophy. Broadview Press.
• Schupbach, Jonah N. (2022). Bayesianism and Scientific Reasoning. Cambridge University Press.
• Stat Trek. (N.d.). Hypergeometric probability calculator. Stat Trek.
• Swinburne, Richard. (2004). The Existence of God (2nd ed.). Oxford University Press.
• Talbott, William. (2022). Bayesian epistemology. In E. N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2022 ed.).
• Tanguy, Alain. (2020). Hypothesis testing, a simple illustration of the superiority of the Bayesian framework. Towards Data Science.
• Weisberg, Jonathan. (N.d.). Formal epistemology. In E. N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2022 ed.).
• Weisberg, Jonathan. (2011). Varieties of Bayesianism. In D. M. Gabby, S. Hartmann, & J. Woods (eds.), Handbook of the History of Logic: Volume 10: Inductive Logic (pp. 477–552). North-Holland.
• Weisberg, Jonathan. (2022). Formal epistemology. In E. N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2022 ed.).
• Weisstein, Eric W. (N.d.) Hypergeometric distribution. Wolfram MathWorld.
• Wolfram|Alpha Widgets. (2019). Hypergeometric calculator. WolframAlpha.
• Vineberg, Susan. (2022). Dutch book arguments. In E. N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2022 ed.).

---

Thomas Metcalf – Bayesianism (Erişim: 18.06.2022)

Çevirmen: Musa Yanık