Maria ya evinde ya da ofisindedir. Şu an evde değil. Peki nerede? Niçin böylesine kafa kurcalayıcı bir bilmeceyle başladığımı merak edebilirsiniz. Oysa bunu çözümlerken çoktan mantığınıza başvurmuştunuz. “Maria ya evde ya da ofiste” ve “Evde değil” öncüllerinden “Maria ofiste” çıkarımına kadar mantık yürüterek hareket ettiniz. Bu, büyütülecek bir mesele gibi görünmeyebilir fakat bu hamleyi gerçekleştiremeyen birinin başının derde girmesi kaçınılmazdır. Farklı kaynaklarda yer alan farklı bilgi parçacıklarını bir araya getirmek ve bunların sonuçlarını çıkarabilmek bağlamında mantığa gereksinim duyarız. Pek çok ufak mantıksal muhakeme [mantık açısından akıl yürütme] aşamasını birbiriyle ilişkilendirerek, tıpkı matematik alanında görüldüğü üzere, çözülmesi gereken çok daha zorlu sorunları çözüme kavuşturabiliriz.
Mantık konusundaki bir başka bakış açısı da mantığın tutarsızlığı ile ilgili olduğudur. Birisinin (aynı kişi hakkında aynı anda) “Maria ya evde ya da ofiste“, “Evde değil” ve “Ofiste değil” şeklindeki üç ifadenin hepsini birden kullandığını düşünelim. Söz konusu bu ifadeler birbirleriyle tutarsız; hepsinin birlikte doğru olmasına imkân yoktur. Bunlardan herhangi iki tanesinin doğruluğu söz konusu olabilir, ne var ki üçüncü ifadeyi hariç tutarlar. Bir kişinin söylediği sözlerde bir tutarsızlık sezdiğimizde, o kişiye artık inanmamaya meyilli oluruz. Neyin yolunda gitmediğini kesin hatlarıyla açıklayamasak bile mantık, bizim tutarsızlığı saptama becerimizde hayati önem taşır. Çoğu zaman, bu örnektekinden farklı şekilde çok daha derin bir noktada saklanmıştır. Söylenen sözlerdeki tutarsızlıkların fark edilmesi, bir akrabamızın aklının karıştığını ya da kamuya mal olmuş bir kişinin bize karşı dürüst olmadığını ortaya çıkarmamızı sağlayabilir. Mantık, politikacıların [siyasetçilerin] söylediği sözlerin üzerinde temel bir kontrol mekanizmasıdır.
Muhakeme [akıl yürütme] yönteminizi en basit hâliyle ifade etmek gerekirse, “A veya B” ve “A değil” öncüllerinden “B” çıkarımına vardınız. Tümdengelim hareketinin tamamı iki kısa sözcük olan “veya” ve “değil” idi. Muğlaklık getirmediğiniz sürece “A” ve “B“yi ne şekilde doldurduğunuz mantıksal bakımdan fark etmez. Şayet “A veya B” ve “A değil” ifadelerinin her ikisi de doğru ise “B” de doğru olacaktır. Diğer bir deyişle, bu tür bir akıl yürütme mantıken geçerli bir yöntemdir. Bu konudaki kullanılan argüman ise ayrık kıyas [tarihsel süreçte “modus tollendo ponens” (MTP) adıyla bilinir — ana önermesi ayrık olan kıyas] olur. Hayatınızın büyük bölümünde, ister farkında olun ister olmayın, ayrık kıyası uyguluyorsunuzdur.
Birkaç istisnai durumlar haricinde, mantık size bir argümanın öncül ya da sonuç bölümlerinin doğruluğunu gösteremez. Örneğin Maria’nın evde mi yoksa ofiste mi olduğunu ya da bu iki yerde de bulunup bulunmadığını size söyleyemez. Ancak mantık size aralarındaki bağlantıyı gösterebilir; mantıksal olarak geçerli bir argümanında, öncüllerin tamamı doğruyken, sonuç önermesinin yanlış olduğu bir kombinasyon söz konusu olmaz. Öncülleriniz hatalı olsa bile, yine de onlardan mantıksal açıdan geçerli yollarla muhakeme yürütebilirsiniz — belki de benim Maria hakkında yaptığım ilk çıkarım oldukça hatalıydı ve Maria gerçekten de bir trendedir.
Argüman biçimlerinin mantıksal geçerliliği kullanılan mantık sözcüklerine dayanır: Bunlar arasında “veya” ve “değil” sözcüklerinin yanı sıra “ve“, “ise“, “bazı“, “hepsi” ve “-dir” sözcükleri de yer alır. Örneğin, “Tüm mantarlar zehirlidir” ve “Bu bir mantardır” ifadelerinden “Bu zehirlidir” ifadesine varan muhakeme [akıl yürütme], belirli durumlarda genel bilgi veya inançlarımızı incelerken başvurduğumuz geçerli bir argüman biçimini göstermektedir. Bu bağlamda başka bir argüman biçimine ilişkin matematiksel bir örnek de “x 3’ten küçüktür” ve “y 3’ten küçük değildir” ifadelerinin “x, y değildir” şeklinde değiştirilmesidir ki bu da mantıksal bir ilke olan şeylerin ancak birbirleriyle aynı özelliklere sahip olmaları kaydıyla özdeş oldukları prensibini içerir.
Gerek gündelik hayatta gerekse bilimin büyük bir bölümünde, mantıksal sözcüklerin muhakemedeki rolüne ya çok az odaklanırız ya da hiç dikkat etmeyiz, zira bu tür sözcükler muhakeme etmekle ilgilendiğimiz hususları dile getirmezler. Biz Maria’nın yerini umursarız, “veya” ile belirtilen ve mantıksal bir işlem olan ayrışımı değil. Oysa bu mantıksal sözcükler olmadan muhakememiz çökecektir; “bazı” ve ” tamamı” sözcüklerinin yerini değiştirmek pek çok geçerli argümanı geçersiz hâle getirecektir. Mantıkçılar ise bunun tam tersiyle uğraşır; onlar Maria’nın nerede olduğuyla değil, mantıksal bir işlem operatörü olan ayrışımın nasıl çalıştığı meselesiyle yakından ilgilenirler.
Felsefeciler [Filozoflar] bazen böyle bir yanılgıya düşmüş ve mantık açısından geriye keşfedilecek bir konunun kalmadığı kanaatine varmışlardır.
Antik dünyada, yani Yunanistan, Hindistan ve Çin’de mantık üzerine çalışmalar çoktan yapılmaya başlanmıştı. Olağan muhakeme yöntemlerinde kullanılan geçerli ya da geçersiz argüman biçimlerini fark edebilmek zor bir iştir. Genellikle en çok ilgi duyduğumuz konulardan uzak durmalı ve bunlardan soyutlamalar yapabilmeliyiz. Yine de bunu başarabiliriz. Böylelikle karmaşık [kompleks] argümanların mantıksal mikro yapısını gözler önüne serebiliriz.
Örneğin, burada iki argüman söz konusudur:
- “Politikacıların hepsi suçlu, bazı suçlular da yalancı olduğuna göre bazı politikacılar yalancıdır.“
- “Bazı politikacılar suçlu, suçluların da hepsi yalancı olduğuna göre bazı politikacılar yalancıdır.’’
Yukarıdaki argümanların birinde, sonuç önermesi öncüllerden mantıksal açıdan çıkmakta olup diğerinde bu durum söz konusu değildir. Siz hangisinin hangisi olduğunu bulup söyleyebilir misiniz?
Böylesi olağan durumlara bakıldığında, mantığın başa çıkması gereken sınırlı sayıda argüman biçimi olduğu izlenimine kapılabiliriz; dolayısıyla bunların tamamı geçerli ya da geçersiz şeklinde doğru sınıflandırıldığında, mantık, elde ettiği sonuçları bir sonraki kuşağa aktarmak haricinde üzerine düşen vazifeyi tamamlamış olur. Felsefeciler kimi zaman mantığın artık keşfedecek bir tarafı kalmadığını düşünerek söz konusu bu yanılgıya düşmüşlerdir. Ne var ki artık mantığın vazifesini asla tamamlayamayacağı bilinen bir durum olmuştur. Mantık bilimciler [mantıkçılar] hangi tür problemleri çözüme kavuştururlarsa kavuştursunlar, daima üstesinden gelmeleri gereken ve hâlihazırda çözülmüş olan problemlere indirgenemeyecek nitelikte yenileri ortaya çıkacaktır. Mantığın böylesine açık uçlu inceleme alanı olarak nasıl ortaya çıktığını anlayabilmek adına, mantığın tarihinin matematik tarihiyle nasıl iç içe geçtiğine dönüp şöyle bir bakmamız gerekiyor.
İnsanlık tarihinde görülen mantıksal muhakemenin uygulandığı en sürdürülebilir ve başarıya ulaşmış olan gelenek matematiktir. Elde edilen bu neticeler doğa bilimlerinde ve sosyal bilimlerde de uygulanmakta, dolayısıyla söz konusu bu bilimler de nihayetinde mantık üzerine kurulmaktadır.
Matematiksel bir ifadenin temel prensiplerden yola çıkılarak ispatlanması gerekliliği argümanı en azından Öklid‘in (Grekçe: Εὐκλείδης Eukleídēs; M.Ö. 330 – 275) geometrisine (Öklidyen Geometri) kadar uzanmaktadır. Her ne kadar matematikçiler genellikle muhakemelerinin soyut yapısından çok matematiksel getirilerine önem verseler de, bu getirilere ulaşmak amacıyla eşi benzeri görülmemiş derecede kuvvetli bir mantıksal muhakeme geliştirmek zorunda kalmışlardır.
Bunun bir örneği reductio ad absurdum [saçmaya indirgeme veya olmayana ergi yöntemi] prensibidir. Bu, bir neticenin geçerli olmadığını farz ederek ve bundan bir çelişki türeterek o neticeyi ispatlamak üzere kullanılan bir yöntemdir. Örneğin, asal sayıların sonsuz sayıda olduğunu ispat etmek amacıyla, bunun aksini, yani en büyük bir asal sayı olduğunu farz ederek işe başlanır ve sonrasında bu faraziyeden [varsayımdan] birbiriyle tenakuz [çelişki] teşkil eden neticeler elde edilir. Bu karmaşık ispat sürecinde, kişinin faraziye üzerine faraziyelerde bulunması gerekebilir; bu detaylı diyalektik yapıyı yakından izleyebilmek için neler olup bittiğine yönelik güvenli bir mantıksal kavrayışa gereksinim duyulmaktadır.
Matematiğin aritmetik dışında kalan mantıksal yapılandırmalara indirgenerek sağlamlaştırılması yönünde bir eğilim [temayül] söz konusuydu.
19. yüzyılda matematik giderek artan oranda kapsamlı ve soyut hâle gelirken, buna koşut doğrultuda mantık da gelişme göstermiştir. Günümüzde “Boole cebiri” adıyla bilinen ve temelde “ve“, “veya” ve “değil” mantığını, ancak buna eş olarak sınıflar üzerinde kesişme, birleşim ve tümleme işlemlerini de içeren mantığı George Boole (doğumu: 2 Kasım 1815, Lincoln – ölümü: 8 Aralık 1864, Ballintemple) geliştirmiştir. Ayrıca bu mantık elektronik devrelerin yapı taşlarını, VE kapılarını, VEYA kapılarını ve DEĞİL kapılarını modellemekte ve bu yönüyle dijital bilgi işlem tarihinde temel bir rol oynamaktadır.
Boole mantığının belirli sınırları vardır. Bilhassa, “bazı” ve “hepsi” mantığını kapsamamaktadır. Yine de bu tür sözcüklerin karmaşık birleşimlerinin, örneğin matematiksel bir fonksiyonun “sürekli” olmasının ne ifade ettiği ve yine de “fonksiyon” olmanın tam karşılığının ne olduğu gibi, 19. yüzyılın başlarında matematik biliminde kafa karışıklığına ve tutarsızlığa sebebiyet verecek konularda, titiz matematiksel tanımlamalarda giderek artan bir rolü olmuştur.
19. yüzyılın sonlarında matematiğin, toplama ve çarpma gibi işlemlerin altındaki doğal sayılar (0’dan tekrar tekrar 1 eklenerek ulaşılan sayılar) teorisinin, aritmetiğin dışındaki mantıksal yapılandırmalara indirgenmesi yoluyla giderek sağlamlaştırılması yönündeki artan bir eğilime tanık olunmuştur. Bunun ardından ünlü matematikçi Richard Dedekind (doğumu: 6 Ekim 1831 – ölümü: 12 Şubat 1916), bir başlangıç noktasından belli bir işlemin (0, 1, 2, 3, …) arka arkaya uygulanmasıyla ortaya çıkan tüm dizilerin genel teorisine aritmetiğin kendisinin nasıl indirgenebileceğini gösterdi. Söz konusu bu teori, mantığa çok benzemektedir. İşlem üzerinde iki kısıtlama koymuştur: Birincisi, farklı girdiler üzerinde asla aynı çıktıyı vermeyecektir; ikincisi, hiçbir zaman başlangıç noktasının çıktısını vermeyecektir. Bu kısıtlamalar göz önüne alındığında, elde edilen dizinin kendi üzerinde döngüye girmesi mümkün değildir ve bu nedenle sonsuz olması gerekir.
Dedekind’in projesindeki esas zorlu kısım, bu tür bir sınırsız dizinin varlığını ispatlamaktı. Açıklamaya çabaladığı konu aritmetik olduğundan, doğal sayıların verili olduğunu farz etmek istemiyordu. Bunu yaparken, başlangıç noktası (0 yerine) kendi özü olan ve üretim işlemi (1 eklemek yerine) düşünülebilir her girdiden, bu girdi hakkındaki düşünebileceği düşünceleri yapılandıran bir dizi önerdi. Bunu ispat ederken hem kendi öz-benliğine hem de düşünebilirlikle alakalı düşüncelerine yaptığı gönderme en hafif tabiriyle beklenmedik bir durumdu. Peki, başka birisi aritmetiği tamamıyla kesin hâle getirmek için bundan daha iyisini becerebilir miydi?
Aritmetik ve belki de matematiğin geri kalan kısmının salt mantık çerçevesine indirgenmesi gayet doğal bir fikirdi. Bazı kısmi indirgeme yöntemleri kolaydır. Örneğin, 2 + 2 = 4 denklemini ele alalım. Bu denklem fiziksel dünyaya uygulandığında aşağıdaki gibi argümanlara karşılık gelir (bir kâse meyve hakkında):
- Burada tam olarak iki elma vardır.
- Aynı zamanda tam olarak iki portakal vardır.
- Hiçbir elmadan portakal elde edilemez.
- Dolayısıyla:
- Burada tam olarak dört elma ve portakal vardır.
“Tam olarak iki” gibi ifadeler tamamen mantıksal terimlere çevrilebilir: ”Tam olarak iki elma vardır” ifadesi ”Bir elma vardır, bir elma daha vardır ve başka elma yoktur” ifadesine denk düşer. Tüm argümanın bu tür terimlere dönüştürülmesinden sonra, çıkarım öncüllerden tamamıyla mantıksal muhakeme yöntemiyle kesin bir surette çıkarılabilir. Aynı işlem ”2” ve ”4” gibi belirli sayıların yer aldığı her türlü aritmetik denklem üzerinde, hatta çok büyük sayılar üzerinden bile genelleştirilebilir. Bu tür sıradan matematik uygulamalarının mantıkla indirgenmesi gayet mümkündür.
Ne var ki, söz konusu bu kadar kolay bir indirgeme yeteri derecede öteye gitmez. Ayrıca matematiğin, “m ve n herhangi bir doğal sayı ise, m + n = n + m” şeklindeki genellemeleri de içermektedir. Bu kolay indirgeme böylesi bir genellemenin altından kalkamaz. Aritmetiğin salt mantık düzeyine indirgenebilmesi maksadıyla bundan kat be kat kapsamlı bir yöntemin uygulanması gerekmektedir.
Bu konuda anahtar niteliğindeki gelişme Friedrich Ludwig Gottlob Frege (doğumu: 8 Kasım 1848 – ölümü: 26 Temmuz 1925) tarafından, Dedekind’inkinden biraz daha önce, ancak o zamanlar çok daha düşük bir bilinirliğe sahip olan bir çalışmada gerçekleştirilmiştir. Frege, içinde mantıksal ispatların yazılabileceği kökten derecede yeni bir sembolik dil geliştirmiş ve bu dile yönelik bir tümdengelim kuralları sistemini icat etmiştir; böylece sistemde yer aldığı varsayılan her türlü ispatın doğruluğunun kesin bir surette kontrol edilmesi mümkün olmuştur. Oluşturduğu bu yapay dil, şimdiye kadarki mantıksal sembolizmden kat be kat fazlasını ifade etmeyi mümkün kılıyordu. Bu sayede, ileri düzeyde matematikte yapılan teorem ve tanımlamaların içerdiği yapısal karmaşıklıklar ilk kez tamamen biçimsel terimlerle ifade edilebilir hâlâ gelmiştir. Bu biçimsel sistem kapsamında Frege, doğal sayıların eşit sayıda elemanı olan kümelerden nasıl soyutlama yoluyla anlaşılabileceğini gösterdi. Buna örnek verecek olursak, 2 sayısı tam olarak iki elemanlı tüm kümelerde ortak olan sayıdır. İki küme, elemanları arasında bire bir uygunluk söz konusu olursa eşit sayıda elemana sahip olur. Gerçi Frege “kümeler“den bahsetmekten ziyade “kavramlar“dan bahsetmiştir, yine de bu aradaki farklılık bizim amaçlarımız doğrultusunda pek de mühim değildir.
R kendisinin elemanı olmayan bir küme midir? Eğer öyleyse, öyle değildir ve eğer öyle değilse, öyledir; yani bu bir tutarsızlık demektir!
Frege’nin ortaya koyduğu bu mantık dili, gerek felsefeciler [filozoflar] ve dilbilimciler [linguistler] gerekse matematikçiler açısından son derece paha biçilmez olmuştur. Bu bağlamda, örnek vermek gerekirse, “Her at bir hayvandır, bu nedenle her atın kuyruğu da bir hayvanın kuyruğudur” şeklindeki basit argümanı göz önünde bulunduralım. Bu argümanın geçerli oluşu Frege’den epey önce bilinmekteydi fakat bu argümanın altında yatan temel yapısını çözümleyebilmek ve geçerliliğini gerektiği üzere açıklayabilmek adına Fregeci mantığa gereksinim duyulmuştu. Günümüzde felsefeciler bu yaklaşımı kullanarak birbirinden apayrı argümanları çözümlemektedir. Dilbilimciler, karmaşık yapıdaki bir cümlenin manasının, cümleyi oluşturan sözcüklerin manalarıyla ve bunların birbirleriyle nasıl bir araya getirildikleriyle belirlendiğini açıklayabilmek üzere Frege’ye kadar uzanan bir yaklaşım benimsemektedir.
Frege, matematiğin mantık alanına indirgenmesi girişimine herkesten çok katkıda bulunmuştur. 20. yüzyılın başlarında bu konuda başarıya ulaşmış gibi görünüyordu. Derken Bertrand Russell‘dan (doğumu: 18 Mayıs 1872 – ölümü: 2 Şubat 1970) gelen kısa bir not, Frege’nin matematiğini yeniden yapılandırdığı mantık temelindeki aksiyomların [belitler veya postulatlar] içinde saklı bir tutarsızlığa dikkat çekiyordu. Bundan daha vahim bir haber de düşünülemezdi.
Söz konusu çelişkinin kümeler üzerinden açıklanması en kolay yoldur, yine de bunun Fregeci terimlerle ifade edilişi de aynı derecede can alıcıdır. Bunu anlayabilmek adına bir adım geriye gitmemiz gerekiyor.
Matematikte, “üçgen” ile neyi kastettiğimiz açıklığa kavuştuğunda, tüm üçgenlerin oluşturduğu kümeden söz edebiliriz: Bu kümenin elemanları üçgenlerden ibarettir. Buna paralel şekilde, “üçgen olmayan” ile neyi kastettiğimiz de aynı derecede anlaşılır olduğundan, tüm üçgen olmayanların oluşturduğu küme üzerinde rahatlıkla konuşabilmeliyiz: Bu kümenin elemanları yalnızca üçgen olmayanlardır. Her iki küme arasında göze çarpan bir farklılık şudur: Tüm üçgenler kümesi, kendisi bir üçgen olmadığı için, kendi kendisinin bir elemanı değildir; öte yandan tüm üçgen olmayanlar kümesi ise, kendisi bir üçgen olmayan olduğu için, kendi kendisinin bir elemanıdır. Daha geniş kapsamda, “X” ile neyi kastettiğimiz belliyse, tüm X’lerin kümesi vardır. Kümeler konusundaki bu temel ilkeye “sınırsız anlayış” adı verilir. Frege’nin mantığında da buna benzer bir prensip yer alır.
“Kendi kendisinin elemanı olmayan küme” ile neyi kastettiğimiz net olduğundan, bunu sınırlandırılmamış anlayış prensibinde “X” yerine koyabiliriz. Bu durumda, kendi kendisinin elemanı olmayan tüm kümelerin bir kümesi olur. Buna “R” (“Russell” için) diyelim. R kendi kendisinin bir elemanı mıdır? Diğer bir deyişle, R kendi kendisinin elemanı olmayan bir küme midir? Çabucak bir derinlemesine düşünme bize şunu gösterir: R kendi kendisinin bir elemanıysa, R kendisinin bir elemanı değildir; yok eğer R kendisinin bir elemanı değilse R kendisinin elemanıdır. Bu durum bir tutarsızlık teşkil eder!
İşte bu çelişkiye Russell paradoksu [Türkçede açmaz, çatışkı, yanıltmaç sözcükleri kullanılr] diyoruz. Bu sınırlandırılmamış anlayış kavramında bir şeylerin yanlış olduğunu göstermektedir. Her ne kadar pek çok kümenin kendisinin elemanı olmasa da, kendi kendisinin elemanı olmayan tüm kümelerin oluşturduğu bir kümeden söz etmek mümkün değildir. Bu da beraberinde şöyle bir soruyu getirir: Tüm X’lerin kümesi üzerine ne zaman söz söylemeye başlayabiliriz? Tüm X’lerin bir kümesi ne zaman mevcuttur? Bu sorunun günümüz matematiği bakımından taşıdığı öneme gelince, zira kümeler kuramı matematiğin standart çerçevesini oluşturmaktadır. Üzerinde konuşabileceğimiz bir küme olup olmadığından hiçbir zaman emin olamayacaksak, bu konuda nasıl ilerleme kaydedeceğiz?
Mantıkçılar ve matematikçiler, kavrayış prensibini çelişkilerden uzak duracak kadar sınırlamanın, ancak bunu yaparken normal matematiksel incelemeleri sekteye uğratmayacak kadar sınırlamanın pek çok farklı yöntemini keşfetmişlerdir. Russell ve Alfred North Whitehead, ”Matematiksel İlkeleri” [Principia Mathematica (1910-13)] adlı devasa yapıtlarında, Frege’nin projesinin bir varyantını gerçekleştirmek üzere yeterince matematiksel gücü korurken, tutarlılığı yeniden sağlayabilmek amacıyla oldukça kısıtlı sınırlamalar getirmiş ve böylece matematiğin büyük bir çoğunluğunu kendi tutarlı mantıksal sistemlerine indirgemişlerdir. Ne var ki, söz konusu bu sistem olağan matematiksel amaçlar doğrultusunda çalışmayı fazlasıyla külfetli hâle getirmiştir. Artık matematikçilerin tercihi, Russell’ınkiyle aynı dönemde Ernst Zermelo (doğumu: 27 Temmuz 1871 – ölümü: 21 Mayıs 1953) tarafından geliştirilmiş ve sonrasında Abraham Fraenkel (İbranice: אברהם הלוי (אדולף) פרנקל ”Abraham Adolf Halevi Fraenkel” doğumu: 17 Şubat 1891 – ölümü: 15 Ekim 1965) tarafından güçlendirilmiş olan nispeten daha sade ve daha etkili bir sistem yönünde olmuştur. Altta yatan temel fikir ”tekrarlı” kavramıdır çünkü Zermelo-Fraenkel aksiyomları, küme-oluşturucu işlemleri tekrarlamak suretiyle nasıl gittikçe artan sayıda kümelere ulaşıldığını tasvir eder.
Kümeler teorisi yalnızca matematiğin değil, matematiksel mantığın bir dalı şeklinde sınıflandırılır. Bunun birkaç farklı gerekçesi vardır.
Birincisi, “veya“, “bazı” ve “dır” şeklindeki temel mantıksal sözcüklerin taşıdıkları manalar bir tür soyut yapısal genelliğe dayanır; bu şekilde “küme” ve ” elemanı” sözcüklerinin manası da birbirine benzetilebilir.
İkinci nokta ise, kümeler teorisinin büyük bir çoğunluğunun mantıksal tutarlılık ve tutarsızlık sorunlarıyla ilintili oluşudur. Bu teorinin en büyük neticelerinden biri, mantık ve matematiğe getirilen geçerli aksiyom ve prensiplerin önemli bir sınırlamasını gözler önüne seren süreklilik hipotezinin (CH) bağımsız olmasıdır. CH, 1878 yılında kümeler teorisinin kurucusu Georg Cantor (doğumu: 3 Mart 1845, Sankt Petersburg, Rusya – ölümü: 6 Ocak 1918, Halle an de Saale, Almanya) tarafından öne sürülen, birbirinden bağımsız sonsuz kümelerin göreceli büyüklüklerine yönelik olağan bir varsayımdan ibarettir. Kurt Gödel (doğumu: 28 Nisan 1906 – ölümü: 14 Ocak 1978) 1938’de CH’nin standart kümeler teorisiyle tutarlı olabileceğini göstermiştir (standart kümeler teorisinin kendi içerisinde tutarlılığı olduğu farz edilirse). Öte yandan 1963 yılında Paul Joseph Cohen (doğumu: 2 Nisan 1934, Long Branch, New Jersey, ABD – ölümü: 23 Mart 2007, Stanford, California, ABD) CH’nin olumsuzlanmasının da standart küme teorisiyle tutarlı olduğunu göstermiştir (yine standart küme teorisinin tutarlı olduğunu farz ederek). Bu nedenle, şayet standart küme teorisi tutarlı ise, CH’yi ne ispatlayabilir ne de çürütebilir; bu konu üzerinde bilinemezci [agnostik] kalır. Bazı kümeler teorisyenleri, CH’yi şu ya da bu şekilde çözüme kavuşturmak gayesiyle kümeler teorisine eklenebilecek makul yeni aksiyomlar arayışına girmişlerse de şimdiye kadar pek ilerleme kaydedememişlerdir. Bu aksiyomlardan birini bulsalar bile, güçlendirilmiş kümeler teorisi başka bazı hipotezler konusunda bilinemezci olmaya devam edecek ve bu durum süresiz surette böyle sürecektir.
Biçimsel mantık çerçevesindeki bir ispat, bir külçe altın görmeseniz bile hâlâ altın standart niteliğindedir.
İşinde ehil bir matematikçi, kümeleri tutarsızlık riskini göz önünde bulundurmadan ya da ispatlarının standart kümeler teorisinde uygulanıp uygulanamayacağını araştırmaksızın kullanabilir. Neyse ki, bu normalde mümkündür. Bu tür matematikçiler, yaşamlarını yasaları dert etmeden sürdüren fakat uygulamada yasalara riayet eden insanlara benzetilebilir.
Her ne kadar kümeler teorisi matematik yapılabilecek akla gelebilecek yegâne çerçeve değilse de, buna karşılık gelecek her türlü çerçeve bakımından benzeşen [analog] sorunlar gündeme gelecektir: Russell paradoksuna yönelik benzeyişleri ketlemek üzere sınırlamalar getirilmesi gerekecek ve bu paradoksun kesin bir yaklaşımla geliştirilebilmesi karmaşık mantık sorunlarını da barındıracaktır.
Matematiksel ispat ve biçimsel mantık arasındaki ilişkiyi inceleyerek, mantığın önemini vurgulayan bir diğer yöntem olan mantık ve bilgisayar bilimi arasında var olan bazı bağlantıları daha derinlemesine anlamaya başlayabiliriz.
Matematik alanındaki çoğu ispat yarı-biçimseldir; bunlar hem matematiksel hem de mantıksal gösterimler [notasyon], diyagramlar ve İngilizce veya diğer doğal dillerin bir karışımında sunulur. Bunun altında yatan aksiyomlar ve birinci prensiplerden pek söz edilmez. Her halükârda, işin ehli matematikçiler ispattaki bir noktadan kuşku duyarlarsa, muhakemenin meşru olduğu netleşene kadar eksik bırakılan adımların yerine konması hususunda yazar(lar)a kafa tutarlar. Her ne kadar fiiliyatta tam bir biçimselleştirme [formalizasyon] pek gerekli olmasa da ve binlerce sayfa uzunluğunda bir ispatı içerse de, her türlü sağlam ispatın prensipte tamamıyla biçimsel ve mantıksal açıdan kesin hâle getirilebileceği farz edilir. Biçimsel mantık çerçevesindeki bir ispat, şahsen hiçbir zaman bir külçe altın görmeseniz bile, hâlâ altın standart niteliğindedir.
Biçimsel ispatın standardı, matematiksel ispatların bilgisayar ile kontrol edilmesiyle yakından ilintilidir. Olağan bir yarı-biçimsel ispat, mevcut hâliyle mekanik açıdan kontrol edilemez, zira bilgisayar daha biçimsel parçaları bir arada tutan düzyazı [nesir] anlatımı yeterince değerlendiremez (mevcut yapay zekâ yeterince güven verici olmayacaktır). Bunun yerine, ispatı kontrol eden program ile insan matematikçiler arasında gerçekleşen etkileşimli bir işleme gereksinim duyulmaktadır: Bu program, tamamıyla biçimsel bir ispata ulaşana veya insanların ne yapacaklarını bilemediklerini fark edene kadar, insanlara sürekli olarak tanımları ve orta dereceli adımları açıklığa kavuşturmalarını sormaktadır. Bu işlemler aylarca sürebilir. Hatta dünyanın sayılı matematikçileri bile karmaşık bir yarı-biçimsel ispatın geçerliliğini kontrol etmek amacıyla etkileşimli süreçten yararlanabilir, nitekim zekice ve son derece ikna edici bir ispat stratejisinin ufak tefek bir hatadan kaynaklandığı durumları yakından bilirler.
Tarihsel açıdan, mantığın bilgisayarla olan bağlantıları bundan çok daha derinlere inmektedir. Gödel 1930 yılında, mantığın büyük bir bölümü olan birinci dereceden mantığa yönelik sağlıklı ve bütün bir ispat sisteminin mevcut olduğunu gösteren bir çalışma yayınlamıştır. Pek çok amaç doğrultusunda, ihtiyaç duyulan tek yöntem birinci dereceden mantıktır. Bu sistem herhangi ispatlanabilir formülün geçerli olması anlamında sağlamdır (yani, tüm modellerde doğrudur). Ayrıca sistem, her türlü geçerli formülün ispat edilebilir olması bakımından da eksiksizdir. Prensipte, sistemdeki her türlü ispat sırasıyla listelenebileceğinden, sistem, sınırsız sayıda olsa bile, dilin tüm geçerli formüllerini listelemenin doğal bir yolunu sağlar. Her ne kadar süreç bitmek bilmese de, verilen her geçerli formül er ya da geç ortaya çıkacaktır (belki de bizim yaşamımız boyunca değil). Bunun bize verilen her türlü formülün geçerli olup olmadığını prensipte belirlemenin doğal bir yolunu verdiği düşünülebilir: Yalnızca listede görünüp görünmediğini kontrol etmek üzere beklemek. Peki, bu geçerli formüller açısından gayet iyi işliyor, fakat ya geçersiz olanlar? Oturduğunuz yerden formülü bekliyorsunuz. Oysa henüz ortaya çıkmadıysa, ileride çıkıp çıkmayacağını ya da hiç çıkmayacağını nereden bileceksiniz? Bu konudaki en büyük açık soru ”Karar Problemi” idi: Dildeki her türlü formülün geçerli olup olmadığını size söyleyebilecek genel bir algoritma mevcut mudur?
Böylesi bir algoritmanın imkânsız olduğunu 1935-36 yılları arasında hemen hemen birbirleriyle örtüşen bir süreçte ABD’de Alonzo Church (doğumu: Haziran 1903, Washington, ABD – ölümü: 11 Ağustos 1995, Hudson, Ohio, ABD) ve Birleşik Krallık’ta Alan Mathison Turing (doğumu: 23 Haziran 1912, Londra, İngiltere, BK – ölümü: 7 Haziran 1954, Cheshire, İngiltere, BK) göstermişlerdir. Bu doğrultuda, takdir yetkisine veya yargılamaya mahal bırakmaksızın bir sorunu aşama aşama çözmeye dayalı salt bir mekanik yöntemi tanımlayan bir algoritma olabilmenin tam manasıyla ne demek olduğu üzerine kafa yormaları ve yaratıcılıklarını ortaya koymaları gerekiyordu. Bu konuyu iyice somutlaştırabilmek adına Turing, prensipte her türlü algoritmayı çalıştırabilecek hayali bir evrensel bilgi işlem makinesinin net bir tanımlamasını getirdi. Böyle bir makinenin “Karar Problemi“nin [Decision Problem] zorluklarının hakkından gelemeyeceğini ispat etti. Aslında, bilgisayarı Turing keşfetmişti (gerçi o zamanlar “bilgisayar” sözcüğü görevi hesaplamalar yapmak olan insanlar arasında kullanılıyordu; hatta bir filozof kendisinin bir bilgisayarla evlendiğini belirtmekten keyif alıyordu). Bundan birkaç yıl sonra Turing, II. Dünya Savaşı (1 Eyl 1939 – 2 Eyl 1945) esnasında gerçekleşen Alman kodlarını [şifrelerini] gerçek zamanlı olarak çözebilmek maksadıyla bir elektronik bilgisayar geliştirdi ve bu bilgisayar Kuzey Atlantik’te Alman U-botlarının mağlup edilmesine muazzam bir ölçüde katkıda bulunmuştu. Dizüstü [laptop] bilgisayarınızda yüklü olan programlar, “Mantık neden önemlidir?” sorusuna verilebilecek uygulamalı bir yanıt oluşturmaktadır.
Ortaya çıkan alternatif mantıkçılar [mantık bilimcisi], sıradan bir komplo teorisyeninden kat be kat fazla rasyoneldir [akılcıdır].
Turing’den günümüze bakıldığında hem mantık hem de bilgi işlem birbirleriyle etkileşimde bulunmaya devam etmektedir. Bu bağlamda kullanılan ”programlama dilleri” mantıkçıların geliştirdiği ”biçimsel diller” ile yakından bağlantılıdır. Gelişmekte olan bir mantık dalı, yalnızca belirli bir sınıf altında bir algoritmanın var olup olmadığını değil, aynı zamanda girdinin boyutunun bir işlevi bağlamında kaç aşamadan oluşan bir algoritmanın mümkün olduğunca hızlı olabileceğini inceleyen Hesaplamalı Karmaşıklık Teorisi‘dir. Şayet bir mantık dergisine bakarsanız, bu yayına katkıda bulunan bilim insanlarının genellikle matematik, bilgisayar bilimleri ve felsefe gibi muhtelif akademik disiplinlerden geldiğini fark edersiniz.
Çıkarımların geçerliliğini belirlemede başvurulacak nihai disiplin mantık olduğundan, insan temel mantıksal prensiplerin kuşkuya mahal bırakmayacak nitelikte veya aşikâr olmasını bekleyebilir — yani felsefeciler bunu eskiden böyle düşünürlerdi. Ne var ki geçtiğimiz yüzyıl boyunca, standart mantığın her prensibi belli başlı mantıkçılarca reddedilmiştir. Bu reddiyeler muhtelif gerekçelerle ortaya atılmıştır: Bunlar arasında barındırdığı paradokslar, sonsuzluk, muğlaklık, kuantum mekaniği, değişkenlik, ucu açık bir gelecek, silinip giden bir geçmiş — aklınıza gelebilecek pek çok sebep sayılabilir. Pek çok sayıda alternatif mantık sistemi öne sürülmüştür. Bu konuda öne sürülen öngörülerin aksine, alternatif mantıkçıların akla sığmayacak kadar meczup olmayıp, bilâkis sıradan bir komplo teorisyenine nispetle daha akılcı oldukları görülmektedir; bu insanlarla kurdukları alternatif sistemlerin olumlu ve olumsuz yanları konusunda tatmin edici düzeyde tartışmalara girilebilir. Tıpkı her bilimde görüldüğü üzere mantıkta da hakiki anlaşmazlıklar söz konusudur. Bununla kıyaslandığında bu durumun mantığı gereksiz kıldığı veya öteki bilimleri faydasız gösterdiği sonucuna varılamaz. Bu yalnızca resmin karmaşıklığını artırır ki; bu da bilimin her türüne dikkatle bakıldığı zaman meydana gelme eğilimi taşıyan bir husustur. Uygulamada, mantıkçıların üzerinde mutabık kaldıkları konularda yeterince mesafe kat edilmiştir. Çoğu alternatif mantıkçı, klasik mantığın olağan koşullarda yeterince başarılı işlediği konusunda ısrar etmektedir. (Benim kanaatime kalırsa, klasik mantığa getirilen itirazların hepsi dayanaktan mahrumdur, ne var ki bunlar şimdilik başka bir yazının konusu).
Mantığın belirgin vasfı özel bir kesinlik standardından ziyade, genelliğin oluşturduğu farklı bir düzey olmasıdır. Tümdengelimli argümanların kontrolündeki rolünün ötesinde mantık, gerçeklik [realite] içindeki en soyut, yapısal türden örüntüleri ayırt edebilmektedir. Buna verilebilecek ufak bir örnek şudur: Her şey kendisiyle-özdeştir [türdeştir]. Oysa bahsi geçen muhtelif mantıksal keşifler aslında bundan kat be kat derindeki örüntüleri yansıtmaktadır. Bazı felsefecilerin [filozofların] iddia ettiğinin ötesinde, söz konusu bu örüntüler yalnızca dilsel uzlaşımlar [linguistik dizgeler] olmaktan ibaret değildir. Her ne kadar uğraşsak da bir şeyi kendisiyle-özdeş olmaktan çıkaramayız. ”Özdeşlik” sözcüğüyle farklı bir manayı kastedebiliriz, ne var ki bu, ”yerçekimi” sözcüğünü farklı bir manaya kullanmak suretiyle yerçekimini alt etmeye kalkışmaya benzeyecektir. Fizik yasaları bize ne kadar bağlıysa, mantık yasaları da en fazla o kadar bize bağlıdır.
Timothy Williamson – “The patterns of reality“, (Erişim Tarihi: 15.12.2023)
Çevirmen: Burak Yıldız
Çeviri Editörü: Emir Arıcı
