Matematik Felsefesi Nedir? – Stephen Ferguson

Ben matematik felsefesi üzerine çalışmaktayım – aslında, doktora tezimi bitiriyorum. Tanıştığım insanlar ne yaptığımı sorduklarında, verdiğim cevap karşısında kafaları karışıyor. Matematiğin bir felsefesi olmasına karşı verilen tipik cevaplar, şaşkınlık ya da tamamen bir akıl karışıklığı içeriyor veya benim matematiğin ezoterik bir dalıyla ilgilendiğimi düşünüyorlar ve okuldayken matematiği hiç anlayamadıklarını itiraf ediyorlar. Durum diğer filozoflarla karşılaştığımda kısmen daha iyimser oluyor – onlar Bertrand Russell’la ilgili bir şeyle uğraştığımı biliyorlar; bazen Wittgenstein’dan hatta Frege veya Gödel’den bile bahsettikleri oluyor. Fakat kimse gerçekten benim neyle uğraştığım hakkında fikir sahibi değil.

Özet olarak matematik felsefesi matematiksel bilginin varlığından doğan özel problemlerle ilgilenir. Bu yüzden, bildiğimizi nasıl bildiğimizin incelendiği, epistemolojinin bir dalıdır, aynı bilim felsefesi veya algı felsefesi gibi. Deneyimle öğrendiğimiz bilginin diğer formlarının aksine, matematiksel bilgi sadece düşünce alanıyla ilgileniyor gibi görünür. Matematik hakkında spesifik sorulara ek olarak, tartışma aynı zamanda matematiksel bilginin nesnelerin daha geniş şemasına ve bilişsel kapasitelerimizin daha genel hesaplarına nasıl uyduğuyla da ilgilidir.

Hakikat genellikle, bir yanda düşüncelerimiz ile dil diğer yanda gerçeklik arasındaki bir örtüşme meselesi olarak kabul edilir. Matematiksel ifadeler (umarız ki) doğru olduğundan, bu ifadelere karşılık gelen nesneler – sayılar, kümeler, fonksiyonlar vs. – gerçekten var olmalıdır. Geçen yirmi yılda, Amerikan filozof Paul Benacerraf’a atfedilen iki soru önem kazandı. Bunlar:

1) Matematiksel nesnelerin nedenleri veya etkileri olmadığı göz önüne alındığında; onlara nasıl atıfta bulunabiliriz?

2) Matematiksel nesnelerin nedenleri veya etkileri olmadığı göz önüne alındığında; onların bilgisine nasıl sahip olabiliriz?

Bunlar, Benacerraf’ın Atıflı ve Epistemik Erişim’in ikiz bulmacaları olarak adlandırılır. Düşünebileceğiniz üzere, bu bulmacaları açıklamanın farklı yolları hakkında pek çok tartışma oldu.

Bundan sonra, bu sorulara verilen matematik felsefesindeki ana akım cevapları temel hatlarıyla belirtip son olarak kendi savunduğum pozisyonu da özetlemek isterim.

Ⅰ. Matematiksel Realizm

Bu bulmacalara, genellikle filozofların masalar, sandalyeler ve bira kupaları gibi gerçekten sayıların olduğunu düşünüp düşünmediğine bağlı olarak benimsenen, birbirinden tam anlamıyla ayrılmış olmayan 3 tane ana cevap hattı vardır – bu cevaba (sayıların gerçekte varolduğunun düşünülmesi) realist veya platonist cevap adı verilir. Alternatif olarak, sayıların varlığını gerçekte inkâr edilebilirler, ve onlara olan bağlılığımızı bir kurgudan ibaret olarak açıklayabilirler, matematiğin bazı soyut matematiksel nesnelerin varlığıyla ilgili olmadığını, fakat bizim benimsediğimiz belirli kavramlar hakkında olduğunu iddia edebilirler: bu bir anti-realist strateji olarak adlandırılabilir. Üçüncüsü, doğal sayılar, kümeler gibi özel nesnelere odaklanmanın problemlerin sebebi olduğunu iddia edenler var; bunun yerine matematiksel yapılarla ilgilenmemiz gerektiğini söylerler. Tipik olarak yapısalcılar, yapılar hakkında bir tür realizmi de benimserler, ama bu her zaman böyle değildir.

Matematiksel realizm için üç ana argüman vardır. Alman matematikçi Gottlob Frege (1848-1925) tarafından ortaya atılan ilki, dilin gerçekliğine dayanır. Frege, dilimizin dünya ile gerçek anlamda ilişki kurduğunu, tekil terimlerin (onun adlandırmasıyla özel adların) nesnelerin ne olduğunu ya da neye atıfta bulunduğunu ifade ettiğini savundu. Bu yüzden özel ad olan ‘sandalye’ gerçek bir nesneye işaret eder. Sayısal özdeşlikler (ör. 2 + 2 = 4) gibi gerçek ifadelerin, sayıların da nesnelere atıfta bulunduğu, yani sayıların nesneler olduğu sonucuna varmak için gerekli bağlamları sağladığını öne sürdü. Bu bazen dilin öne çıkmasından dolayı dilbilimsel veya anlamsal realizm olarak da adlandırılır.

İkinci argüman, Princeton Institute of Advanced Studies’de Einstein’ın bitişik odasında bulunan mantıkçı Kurt Gödel’e dayanır. Gödel matematikçilerin özel bir sezgi fakültesi kullanarak matematiksel nesneleri algılayabildiğini öne sürmüştür. Bu Platonizme uyar (büyük ‘p’ ile) çünkü, Platon’un idealar teorisinde olduğu gibi, soyut bir dünyanın var olmasıyla beraber bu alemle tanışmanın bir yolu da vardır.

Üçüncüsü, bugünlerde Amerika’nın hatrı sayılır filozoflarından biri olan Hilary Putnam’ın, Quine’ın epistemolojik bütüncülük (holizm) için ortaya attığı argümanlarına dayanan iddiadır. Quine, bilgimizin bir bütün olduğunu ve bilgimizin bir türünü diğerlerinden ayırmanın mümkün olmadığını öne sürer. Putnam’ın argümanı da bu şekilde işler – bilimsel bir teoriyi ciddi bir şekilde ele aldığımızda, bu teoriler tarafından kabul edilen bileşenlere, onların varlığını deneysel olarak ispat etmek mümkün olmasa bile, inanmaya kararlıyızdır. Bununla birlikte, Quine’ın iddia ettiği gibi, eğer bilgimiz gerçekten bütüncül ise, teorik varlıklar bir teoriyi kabul ederek kendimizi adadığımız tek nesne değildir: matematik fiziksel teoriyi ifade etmede yer aldıkça, aynı zamanda matematiksel nesnelerin varlığını kabul etmeye de gayret gösteririz. Bu Vazgeçilmezlik Argümanı’dır – böyle denir çünkü matematik bilimde vazgeçilmezdir.

II. Matematikte Anti-Realizm

Geleneksel olarak iki akım platonizme karşı çıkar: Sezgicilik ve Biçimcilik. Yakın zamanda realizme karşı çeşitli yeni pozisyonlar da ortaya sürüldü: Yarı-gerçekçilik (Quasi-realism) ve Gerçekdışıcılık (Irrealism). Daha sonra da daha fazlası.

Sezgicilik ilk olarak Platonizm’e alternatif olarak matematiğin felsefi açıklaması olarak Hollandalı matematikçi Jan Brouwer (1881-1966) tarafından ortaya atıldı. Ona göre, matematik zihinden bağımsız nesnelerin soyut dünyasıyla ilgili değil, daha çok insan zihni tarafından matematiksel nesnelerin yaratılmasıyla ilgilidir. Önceden var olan bir matematiksel gerçekliğin doğru veya yanlış olduğuna dair bir ifadeden ziyade, bu gerçekliği bizim süreç sırasında yarattığımızı öne sürmüştür. Matematiksel ifadeler önceden oluşturulmuş nesnelerle uğraşırken doğru veya yanlıştır, fakat yeni bir keşifte onlar ne doğru ne de yanlıştır. Dolayısıyla, eğer Brouwer haklıysa, mantıkçıların Üçüncü Halin İmkansızlığı İlkesi – her ifade için, ya o ya da onun olumsuzlaması doğrudur – adını verdikleri ilke reddedilmelidir. Fakat ‘klasik’ matematikteki belirli sonuçların kanıtları esasen bu İlkenin kullanımına dayandığından, bunun inkarı konunun çoğunu tekrar düşünmemizi gerektirir.

Bir zamanlar Oxford’ta mantık profesörü olan Michael Dummett, geçen 30 yıl boyunca, Frege’nin realizm için oluşturduğu anlamsal (semantik) argümanlarına saldırarak Sezgiciliği savunmuştur. Üçüncü Halin İmkansızlığı İlkesine dayanarak, klasik matematik, doğru olan, ancak doğruluğunu kanıtlayamadığımız ifadelerin varlığına bağlıdır; bunlar aşkın gerçekler olarak bilinir. İyi bir örnek olarak, Goldbach’ın, her sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebilir olduğu hipotezi verilebilir. Çoğu matematikçiye göre bu sanının doğru olduğu kesindir, fakat kanıt sonsuz sayıdaki sayıları kapsayan asal elemanları bulmalıdır, böyle bir ispat asla tamamlanamaz. Dummett’in argümanları matematiği nasıl öğrendiğimizle ilgilidir; biri bize öğretmelidir ve dahası bize öğretilenden anladığımızı gösterebilmemiz gerekir. Bir ifadenin anlamını bilmek, Frege’nin iddia ettiği gibi, içindeki terimlerin neyi temsil ettiğini bilmek ise, hiç kimse bize onların gerçeklerini gösteremeyeceği için, hiç bir zaman aşkın ifadelerin anlamlarını öğrenemeyeceğimizi savunur. Bu anlamsal anti-realizm olarak bilinir, ve eğer doğruysa, ona ilham veren Sezgicilikte olduğu gibi Üçüncü Halin İmkansızlığı İlkesini reddetmelidir.

Sezgicilik gibi, Biçimcilik de Platonizmi destekleyen gerçeğin Realist anlayışına karşı çıkar. Biçimciliğin alışılagelmiş yorumu matematiğin kurgusal olarak veya bir oyun gibi davrandığı yönündedir; fakat bu en azından bir Biçimcinin – en ünlüsü: David Hilbert (1862-1943) – yanlış anlaşılması olurdu. Onun gerçek hakkındaki metafiziksel kaygıları söndürme girişimleri, hakikatin, bir palavra olabilecek kadar zayıf olan benzeşme ilkesine icap ettirilmiş bir şeyden daha fazlasının olamayacağı söylenerek modern terimlerle şöyle ortaya konulabilir:

P doğru olduğunda ‘P’ doğrudur.

Realizme yönelik yeni saldırılar, Yarı-gerçekçilik ve Gerçekdışıcılık biçiminde ortaya çıkmıştır. Yarı-gerçekçilik, Simon Blackburn tarafından dil felsefesindeki ve etikteki tartışmalarla bağlantılı olarak ortaya atılmış bir terimdir. Belirli söylemlerde, yüzey gramerinin kesin bir yapısı olmasına rağmen, sözdiziminin temelindeki mantıksal yapıyı yanlış ifade ettiğini öne sürer. Bu bize, fiziksel olmayan nesnelerin varlığı gibi, külfetli felsefi bağlılıklarla açmaza girmeden çeşitli dilbilimsel pratikler yapma imkânı verir. Geoff Hellman bu stratejiyi matematiksel ifadelerin basit bir göstergesel iddia olmadığını, fakat bunun yerine nesnelerin, kümelerin, sayıların olmasına bağlı olarak değişebilen sonuçlar hakkındaki iddialar olduğunu söylemek için kullanmıştır.

Yarı-gerçekçiler; matematiksel ifadelerin doğru olduğunu kabul ederler, fakat yüzey gramerde oluşan isimlere karşılık gelen herhangi bir sayı, küme veya fonksiyon olduğunu reddederler. Diğer yandan Hartry Field gibi gerçekdışıcılar, matematiksel dilin dış görünümüne bakılması gerektiğini, fakat matematiksel teorilerin ifadelerinde adlandırıldığı gibi herhangi bir nesne varolmadığı için, bu ifadelerin yanlış olması gerektiğini düşünmüşlerdir. Field elindeki görevi iki aşamalı olarak ele alır: matematiksel realizmin ana argümanının – Vazgeçilmezlik Argümanı -saptırıldığını ve matematiksel ifadelerin yanlış olmalarına rağmen kullanışlı olabileceklerini göstermek. Matematiğin kullanışlılığını tüm matematiğin muhafazakarlık olarak adlandırdığı belli bir normatif ilkeyi karşıladığını göstererek açıklar; doğru bilgi matematiksel makineye konulduğunda doğru sonucu verecektir. Bu muhafazakarlık prensibinin matematiğin günün sonunda uygun bir kestirme yoldan ibaret olduğunu gösterdiğini savunur ve bilimin matematik bahsi olmayan ifadelerle de yürütülebileceğini iddia eder.

III. Yapısalcılık

Profesyonel matematikçiler tarafından çalışılan matematiğin çoğunun aksine, aritmetik pratiğin yüzey grameri belirli nesnelerin değişime açık olduğunu söyler. Fakat bu nesneler matematikçiler tarafından çalışıldığı zaman, asıl önemli olan nesneler değil yapılardır. Tipik bir matematiksel yapı gruptur: verilen g kümesinde ve + ikili işleminde eğer aşağıdaki şartlar sağlanırsa, ˂g, +˃ bir gruptur:

(G-i) kapalılık (closure) – kümedeki her a, b için, a+b=c olacak şekilde kümede bir c vardır;
(G-ii) etkisiz eleman – her a için a+e=e+a=a şartını sağlayan bir e elemanı vardır;
(G-iii) ters eleman – her bir a elemanı için, a+b=b+a=e ilişkisinde olduğu bir b elemanı vardır. Bu a’nın tersidir, ve a^-1 şeklinde gösterilir;
(G-iv) birleşme özelliği – kümedeki her a, b, c için (a+b)+c=a+(b+c).

Yapılarla uğraşırken temel anlayış yapıdaki herhangi bir nesnenin önemli bir matematiksel role sahip olduğunu düşünmek yerine tüm yapının matematiksel olarak önemli olduğunu düşünmektir: hiçbir parça tek başına çalışamaz. Belki de matematiksel yapı kavramını anlamanın en iyi yolu fiziksel yapılar hakkında düşünmekten geçer. Stewart Shapiro yakında çıkacak olan kitabında yapıları spor takımlarına benzer bir şekilde tanımlar. Tipik bir futbol takımını ele alalım: bir kaleci, merkez savunmada oyuncular, orta saha ve önde de forvet oyuncuları vardır. Bazı takımlar üç forvetle oynar, bazılarıysa iki forvetle: bu durumda bu takımlar farklı yapılara sahiptir.

Şimdi platonizmde karşılaştığımız problemleri düşünelim: sayılar gibi, futbol takımındaki pozisyonlar da fiziksel şeyler değildir, öyleyse onların bilgisine nasıl sahip olabiliriz? Açık cevap, kalecilerin birkaç örneğini izleyerek ve hepsinde ortak olanı soyutlayarak bir kalecinin hangi rolü oynadığını öğrendiğimizdir. Tüm kalecilerin kahverengi saçları olduğunu düşünseydik bir şeyi kaçırmış olurduk: önemli olan yapı içinde – takım içinde oynadıkları roldür. Yapısalcılar tüm matematiği yapısal olarak düşündüğümüzde (sadece gruplar gibi açık cebirsel yapıları değil, aynı zamanda aritmetik gibi alanları da) bu perspektifin çeşitli felsefi sorunlara, Benacerraf’ın ikiz bulmacası gibi, basit çözümler önerdiğini savunur.

Matematiği örüntü tanıma denen yöntemi kullanıp örüntüleri tespit ederek öğreniriz. Aslında Resnik, yapılar yerine genel olarak örüntüler üzerinden konuşmanın daha iyi olacağını savunuyor, ancak buradaki farklılıklar yalnızca terminolojiktir. En etkili yapısalcılardan olan Resnik ve Shapiro’nun her ikisi de, matematiksel bilginin önce çeşitli ‘somut’ veya fiziksel kalıpları deneyimleyerek ve ardından alttaki yapıya soyutlayarak kazanıldığını savunmuştur.

Yarı gerçekçi bir strateji örneği olarak Geoff Hellman’ın modal yapısalcılığından daha önce kısaca bahsetmiştim; Shapiro ve Resnik gibi, o da platonizmle ilgili felsefi problemlerin platonizmin matematiksel nesnelere odaklanmasından kaynaklandığını ve yapı temelli bir açıklamanın buna çözüm olacağını öneriyor. Bununla birlikte, Shapiro ve Resnik’in aksine, yapısalcılığını örüntü tanımaya değil, yapıların nesnelerin olası kombinasyonlarını tanımladığı düşüncesine dayandırır ve bu nedenle matematiğin ifadelerini neyin mümkün ve neyin gerekli olduğu konusundaki kavrayışımızla ilgilenecek şekilde ele alır.

Yapısalcılığın çekici olmasının nedeni neredeyse yalnızca sokaktaki adamın aşina olduğu matematiğe odaklanan platonizmin aksine, modern matematiğin çoğu konusu için bir açıklama sunar. Bununla birlikte, yapıscalıların argümanlarının asıl şekli daha ayrıntılı olarak incelenmeye değer. İlk olarak, matematiksel pratiği açıklamaya yönelik bu açık arzu vardır. İkinci olarak, ‘Bütün matematik yapısaldır’ iddiası felsefi olmaktan çok stratejik nedenlerle ortaya konulmuştur. Bundan kastım bu iddianın yapısalcılara belli avantajlar sağladığıdır. Örneğin, yapısalcıların teorileri bu iddia olmasaydı sadece yukarıda bahsi geçen gruplar teorisi gibi matematiğin açıkça yapısal alanlarına uygulanabilir olacaktı. Yapısalcılığın platonizme alternatif olabilmesi için yapısalcıların bu görüşün sıradan matematik, yani aritmetik, için de uygulanabilir olduğunu göstermeleri gerekir.

Bunu yapmanın genel yolu sayıların yapısal görünüşünün yeterliliğini göstermektir. Doğal sayıları tek tek nesnelerin bir koleksiyonu olarak düşünmekten çok, yapının her bir elemanını ardılıyla birlikte, bir yapı olarak düşünmek olasıdır. Diğerleriyle olan ilişkisi dışında bu elemanların hiçbiri hakkında hiçbir şey söylenemez. Bu tür yapıları cebirinkilerden ayıran şey, doğal sayıların altında yatan modellerin kategorik olmasıdır- herhangi bir verili nicellik için yapının tüm modelleri birbirinin aynısıdır. Cebirde ise, futbol takımlarında olduğu gibi, aynı yapının farklı modelleri olabilir, üç forvetli bir takım ile sadece iki forveti olan takım arasındaki farklılıklara benzer farklılıklar sergilenebilir.

IV. Mütevazı Yapısalcılık

Hiçbir zaman yapısalcıların aritmetik hakkında doğru olduklarına ikna olmadım – Her zaman bir taraftan doğal sayılar, reel sayılar, kompleks sayılar gibi sistemler ve diğer taraftan da gruplar gibi yapıların arasındaki sezgisel farklılıkların, sayıları modelleyen teorilerden daha fazla bir şey olduğunu düşündüm.

Yapısalcıların soyut cebir konusunda temelde haklı olduklarını düşünüyorum – bu da beni, yapısalcıların profesyonel matematik hakkındaki görüşleriyle uyumlu olacak ve Frege’nin sıradan matematik hakkındaki platonist açıklamasının tüm sezgisel çekiciliğini koruyacak bir açıklama üretmek için çabalamaya yöneltti. Frege’nin sayıları nesneler olarak kavramsallaştırdığı dilsel argümanları hatırlayalım: tıpkı bizim önerdiğimiz gibi iki-katmanlı bir açıklama sunmak için yapıların ve sistemlerin neden farklılaşabileceğine dair matematiksel dilin özelliklerine dayalı nedenler gösterilmesi gerekir.

Aritmetiği ele almakla birlikte, Frege günlük dilin özellikleri hakkında da yazdı. Çoğu cümlede, aynı nesneyi temsil eden terimlerin, cümlenin gerçek değerini değiştirmeden değiştirilebileceğini savundu. Örneğin, eğer şu doğruysa:

(A) Lois Lane, Clark Kent’i seviyor.

o zaman şu da doğrudur:

(B) Lois Lane Superman’i seviyor.

Ancak, belirli bağlamlarda bu bozulmaktadır. Uzunca bir süredir biliyoruz ki, Lois Superman’in gizli kimliğinin farkında değildi, bu yüzden şunu söylemek yanlıştır:

fakat şunu söylemek doğrudur:

(D) Lois Lane Superman’in Superman olduğuna inanıyor.

Frege, belirtici-olmayan ifadelerde, özel isimlerin aslında referansta bulundukları objeleri temsil etmek yerine daha çok referansta bulunduğu şeyi, yani onun ismin anlamı olarak adlandırdığı kavramı, çözme şeklimizi ifade ettiği sonucuna varmıştır.

İnanç ifadeleri gibi, modalite ifadeleri de referans için sorunlara neden olur. Hellman’ın, yapıların olası nesne kombinasyonlarıyla ile ilgili olduğunu savunduğunu hatırlayın; bu, matematiksel ifadelerin basit gösterge iddialar olmadığını, bunun yerine sayılar veya kümeler gibi nesnelerin var olduğu sonuçlar hakkında arzusal iddialar olduklarını gösterir.

Bu iki yaklaşımı birleştirmek mümkündür: Aritmetik ifadelerin gösterge önermeler olduğunu ve bu yüzden içerdikleri özel isimlerin nesnelere gerekli bir atıfta bulunduğunu öne sürüyorum: bu sebeple sayılar nesnedir. Fakat yapısalcı matematiksel ifadeler gösterge değildir – onlar, nesnelerin şöyle böyle bir şekilde düzenlenmiş olduğu sonuçlar ile ilgili ifadelerdir ve bu yüzden aritmetiksel ifadelerin yaptığı gibi atıfta bulunmazlar.

V. Sonuç

Matematik felsefesindeki ana başlıkları aktarmaya çalıştım ve umarım ki ilginç ve erişilebilir olmasını mümkün kıldım. Kaynakçadaki hemen hemen her şey, teknik zorluk açısından farklılık gösterse de okunabilir durumdadır; örneğin, Shapiro’nun ilk kitabı mantıksal ayrıntılarla doluyken, ikinci kitabı neredeyse hiç karmaşık mantık içermiyor.

Matematik felsefesinin sayıların, kümelerin ve fonksiyonların gerçekten olup olmadığıyla ilgilendiği hakkında ipucu verdim. Platonizm, sezgicilik ve biçimcilik gibi farklı pozisyonlar bu sorularla uğraşmanın farklı yollarını önerir, yapısalcılık ise bu tartışmada yeni bir perspektif sunan radikal bir yaklaşım sunar.

Yapısalcıların sloganı olan ‘Bütün matematik yapısaldır’ ifadesini kabul etmekten ziyade, matematiğin yapısal olan ve yapısal-olmayan alanlarının olduğunu düşünmeyi; ve her alana, bu söylemlerin ifadelerinin bağlamındaki farklılıklara dayalı olarak, ayrı ama bağımsız olmayan bir açıklama yapmayı tercih ediyorum.

Kaynakça

Benacerraf, P (1965) ‘What numbers could not be’, Philosophical Review 74, pp47-73; (1973) ‘Mathematical Truth’, Journal of Philosophy 70, pp661-80
Putnam, H (1983) Philosophy of Mathematics: Selected Readings 2nd edition, Cambridge University PressBlackburn, S (1984) Spreading the word. Oxford: Clarendon Press
Brouwer, J (1949) ‘Consciousness, Philosophy and Mathematics’, in Benacerraf & Putnam (1983), pp90-6
Dummett, M (1973) ‘The philosophical basis of Intuitionistic Logic’, in Benacerraf & Putnam (1983), pp97-130
Field, H (1980) Science without numbers. Oxford: Blackwell
Frege, G (1879) Die Grundlagen der Arithmetik; trans. Austin (1950) as Foundations of Arithmetic. Oxford:Blackwell; (1893) Die Grundgesetze der Arithmetik. Vol I, Olms: Hildesheim
Gödel, K (1947) ‘What is Cantor’s Continuum Problem?’, American Mathematical Monthly 54, pp515-25, reprinted in Benacerraf & Putnam (1983), pp470-86
Hellman, G (1989) Mathematics without number. Oxford; Clarendon Press
Putnam, H (1971) Philosophy of Logic. New York: Harper
Resnik, M (1981) ‘Mathematics as a science of patterns: Ontology and Reference’, Noûs 15, pp529-49; (1982),‘Mathematics as a science of patterns- Epistemology’, Noûs 16, pp95-105
Shapiro, S (1991) Foundations without foundationalism. Oxford Logic Guides 17, Oxford University Press; (forthcoming) Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. Oxford University Press
Wright, C (1983) Frege’s conception of numbers as objects. Scots Philosophical Monographs, Aberdeen University Press

Stephen Ferguson– “What is the Philosophy of Mathematics?“, Erişim Tarihi: 15.09.2021

Çevirmen: Gökçen Kartal

Çeviri Editörü: Göktuğ Koca

Öncüller Sonucu Belirler