Iraksak Serileri Toplamak ve -1/12 – Can Numan

Bu yazımızda ıraksak serileri toplamak için ne gibi yöntemler olduğunu göreceğiz. Yazının ana temalarından birisi Numberphile denen YouTube kanalının ilgi çekmek için geniş halk kitlelerinin kafasını karıştırmak suretiyle kullandığı

eşitliği olacak. Bu eşitliğin hangi bağlamda doğru olduğunu anlamaya çalışacağız. Benzer şekilde

eşitliklerinin de hangi bağlamda doğru olduğunu öğreneceğiz.

Yazının başından çeşitli uyarılarda bulunmak istiyorum. Hayır, bu teoremlerin kanıtları ilgili toplamlara $s$ dedikten sonra eşitlikleri cebirsel olarak manipüle edip ilgili $s$ değeri bulunarak yapılmıyor. Numberphile ve çeşitli diğer YouTube videolarında görebileceğiniz bu argümanların kanıtladığı şey aslında şu: Eğer bu serilere (daha sonra göreceğimiz) belirli özellikleri sağlayan uygun bir toplam atama yöntemi varsa, o zaman bu serilerin toplamları ilgili sayılar olmalı. Öte yandan böyle toplam atama yöntemlerinin neden var olması gerektiği açık değil.

Toplam atama yöntemi derken neyi kastediyorum? Sonsuz toplamları bırakıp önce sonlu toplamlarla ilgilenelim.

2+2 niye 4 eder?

Matematik Öklit’ten beri belitsel olarak işleyen bir disiplindir. Bunun anlamı şu, matematikte çeşitli belitleri doğru kabul ederiz ve mantıksal çıkarımlar yaparak teoremler kanıtlarız.

Bundan dolayıdır ki matematik diğer bilimlerden farklı olarak kesindir. Bir kanıtın doğru olup olmadığı mekanik olarak kontrol edilebilir. Dolayısıyla, eğer bir kanıt doğruysa, farklı bir mantık sisteminde çalışmadığınız ya da belitlerinizi değiştirmediğiniz sürece doğru olarak kalacaktır. Bunları niye anlattım?

$2+2=4$ eşitliği neden doğrudur? Çarpım tablosunda yazdığı için mi? Yoksa her || ile || çokluğunu yan yana getirdiğimizde |||| çokluğunu elde ettiğimizi gördüğümüz için mi? İkisi de değil. Eğer 2+2’nin 4 ettiğini kanıtlamak istiyorsak önce bir belitsel sistem seçmeli, daha sonra 2, 4 ve + sembollerinin ne anlama geldiğini bu belitsel sistem içerisinde tanımlamalı, daha sonra da bu eşitliği belitlerimizi kullanarak türetmeliyiz. Bunu yapmanın pek çok yolu var. Mesela belitsel sistemimizi sadece doğal sayılarla ilgilenen Peano belitleri seçersek 2+2’nin 4 ettiğini kanıtlamak çok zor değil. Bunun yerine, neredeyse bilinen tüm matematiği içerisinde yapabileceğiniz ZFC belitleri altında çalışırsak, doğal sayıları ve toplama işlemini çeşitli kümeler olarak inşa ettikten sonra 2+2’nin 4 olduğunu kanıtlayabiliriz. Matematik Dünyası‘nın eski sayılarından 2×2 özel sayısını okursanız 2×2’nin neden 4 olduğunu öğrenebilirsiniz!

Tüm bunları niye yazdım? Matematiğin tümdengelimsel bir şekilde işlediğini gözünüze sokmak için. Dolayısıyla matematiksel bir iddiada bulunmak istediğinizde, iddianızdaki terimlerin ne olduğunu tanımlamalısınız ki belitlerimiz vasıtasıyla doğru ya da yanlış olduğunu kanıtlamaya çalışalım.

Sonlu toplamların ne olduklarını ve nasıl yapıldıklarını biliyoruz. Peki ya sonsuz toplamlar?

Yazıya devam etmeden önce gerçel sayıları inşa ettiğimizi ve diziler, seriler ve limit gibi temel calculus kavramlarını bildiğimizi varsayacağım. Burada gerçel sayılarla çalışmak için özel bir nedenimiz yok. Aslında çok daha geniş bir çerçevede çalışabiliriz ama yazı GM serisinde olduğu için geniş halk kitlelerinin kafasını karıştırmamak adına herkesin aşina olduğu bir sayı sisteminde çalışmak daha iyi olacaktır.

Yakınsak ve ıraksak seriler

Elimizde elemanları gerçel sayılar olan bir $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^+}$ dizisi olsun. Sonlu toplamların ne olduğunu bildiğimizi varsaymıştık. Her $n \in \mathbb{N}^+$ için $S_n = a_1+a_2+\dots+a_n$ olarak tanımlayalım. Üniversitede calculus dersi almış her zeki, çevik ve ahlaklı gencin bilmesi gerektiği gibi eğer öyle bir $L$ gerçel sayısı varsa ki

\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} S_n=L

oluyorsa bu durumda

\Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_n=a_1+a_2+\dots

serisine yakınsak bir seri diyoruz. Eğer bir $\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n$ serisi yakınsak değilse, bu durumda ona ıraksak seri diyoruz. Bir seri yakınsaktır ancak ve ancak kısmi toplamlar dizisinin bir limiti varsa. Iraksak serilere örnek olarak

\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots

\Sigma_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}=1-1+1-1+\dots

\Sigma_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot n=1-2+3-4+\dots

serilerini gösterebiliriz. Bu serilerin hiçbirinin kısmi toplam dizisinin limiti yoktur.

Biraz düşünürseniz siz de kolayca kanaat getirebilirsiniz ki bu tanım sahip olduğumuz sonsuz toplam sezgisiyle büyük ölçüde örtüşen bir tanım: Eğer sonsuz tane sayıyı toplamaya çalışıyorsak, sayıları teker teker eklemeye devam ettiğimizde elde ettiğimiz kısmi toplamın nasıl bir davranış sergilediğine bakmalıyız, değil mi?

Çeşitli serilerin kısmi toplamlarının limiti olmadığını görüyoruz. Dolayısıyla bu toplam tanımı altında toplanamayan seriler var. Peki bu noktada pes mi etmeliyiz?

Iraksak serileri toplamak

Hikaye odur ki gelmiş geçmiş en önemli matematikçilerden biri olan David Hilbert bir öğrencisinin şair olmak için dersini bıraktığını öğrendiğinde “İyi, zaten matematikçi olabilmek için yeterli hayal gücü yoktu.” demiştir.

Bu anekdotu anlatma sebebim şu. Üç beş kısmi toplam dizisinin limiti yok diye matematikçiler ıraksak serileri toplamaya çalışmaktan vazgeçecek değil ya?!

Yukarıda bir toplama tanımı yaptık. Bir $\Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_n$ serisinin toplamının ne olduğuna kısmi toplamlar dizisinin limitine bakarak karar verdik. Daha sonra fark ettik ki elimizde bu tanım altında toplanamayan bir yığın seri var.

Peki öyle bir toplam tanımı yapabilir miyiz ki hem yakınsak serileri toplamaya çalıştığımızda yukarıda yaptığımız standart toplam tanımıyla örtüşsün hem de bazı ıraksak serileri de toplamamıza olanak versin? Bu sorunun yanıtı olumlu.

Cesaro toplamı

Verilen bir $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dizisi için $\Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_n$ serisinin Cesaro toplamını şu şekilde tanımlayalım.

\Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_n=L \Leftrightarrow L=\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{S_1+S_2+\dots+S_n}{n}

Yani bir serinin Cesaro toplamı $L$ ‘dir ancak ve ancak serinin kısmi toplamlarının ortalamalarının limiti $L$ ise. Biraz uğraşla gösterilebilir ki eğer bir $\Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_n$ serisi standart toplam tanımı altında yakınsaksa ve toplamın değeri $L$ ise bu durumda bu serinin Cesaro toplamı da $L$ ‘dir. Öte yandan bunun tersi doğru olmak zorunda değil. Mesela

serisinin kısmi toplamları dizisine baktığımızda elde edeceğimiz dizi

(S_n)_{n \in \mathbb{N}^+}=(1,0,1,0,\dots)

olacaktır. Bu kısmi toplamlar dizisinin ilk n teriminin ortalamasını alarak elde ettiğimiz diziyse

(\frac{S_1+S_2+\dots+S_n}{n})_{n \in \mathbb{N}^+}=(\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},\dots)

olacaktır. Bu dizinin limiti $\frac{1}{2}$ olduğundan $1-1+1-1+\dots$ serisinin Cesaro toplamı $\frac{1}{2}$ olur.

Demek ki Cesaro toplamı standart toplama tanımını genelliyor ve ıraksak bazı serilere de toplam atamamıza izin veriyor. Peki Cesaro toplamı altında toplanamayan seriler var mıdır? Evet vardır. Örneğin

serisinin Cesaro toplamı yoktur zira kısmi toplamların ortalamasını alarak elde ettiğimiz dizinin limiti yoktur. Demek ki Cesaro toplamıyla da toplayamadığımız seriler var.

Hikaye burada bitecek mi? Tabii ki hayır. Aynen Cesaro toplamının standart toplam tanımını genellemesi gibi Cesaro toplamını genelleyecek bir tanım yapmayı deneyebiliriz. Cesaro toplamını tanımlarken ne yapmıştık? Kısmi toplamların limitine bakmak yerine kısmi toplamların ortalamalarının limitine bakmıştık. Peki bir adım daha öteye gidip kısmi toplamların ortalamalarının ortalamalarının limitine bakarsak ne olacak?

Biraz uğraşla bu yaptığımız yeni toplam tanımının Cesaro toplamını genellediği gösterilebilir. Üstüne üstlük, bu tanım altında

\Sigma_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot n=1-2+3-\dots=\frac{1}{4}

olacaktır. Peki bu yeni toplam tanımıyla bu sefer tüm serilere sonlu bir toplam atamayı başarmış olabiliriz miyiz? Ne yazık ki hayır.

Bu tanım altında da toplanamayan seriler var. Mesela

serisi bu tanım altında da toplanamaz. Peki bu bizim için bir engel mi? Değil.

Durmak yok, yola devam! Yeni bir tanım yapalım. Aynen Cesaro toplamını genellediğimiz gibi, bu yeni tanımı da genelleyelim. Kısmi toplamların ortalamalarının ortalamalarının limitine bakmak yerine kısmi toplamlarının ortalamalarının ortalamalarının ortalamalarının limitine bakalım. Bu da yetmezse kısmi toplamların ortalamalarının ortalamalarının… Cesaro toplamını bu şekilde ya da başka şekillerde genellemek mümkün.

Peki bu toplam tanımlarını kafamıza göre mi yapıyoruz?

Sonsuz serilere toplam atamaya çalışmak

Sonsuz serilere toplam atayabilmek için yaptığımız bu tanımları kafamıza göre yapmıyoruz. Yaptığımız tanımların belirli özellikleri sağlamasını istiyoruz.

Birinci olarak, yaptığımız tanım düzgün olmalı. Yani standart toplam tanımı altında yakınsak olan serilere aynı değerleri atamalı.

İkinci olarak, yaptığımız tanım doğrusal olmalı. Yani eğer $\Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_n=L_1$ ve $\Sigma_{n=1}^{\infty}\ b_n=L_2$ oluyorsa, her $c$ sabiti için $\Sigma_{n=1}^{\infty}\ c \cdot a_n+b_n=c \cdot L_1+L_2$ olmalı.

Üçüncü olarak, yaptığımız tanım stabil olmalı. Yani eğer $\Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_n=L$ oluyorsa, bir $M$ pozitif tam sayısı için ilk $M$ terimi atarak elde ettiğimiz $\Sigma_{n=1}^{\infty}\ a_{n+M}$ serisini topladığımızda $L-a_1-a_2-\dots-a_{M}$ bulmalıyız.

İlk özelliğin sağlanmasını istiyoruz çünkü yapacağımız toplama tanımı sezgisel olarak bize anlamlı gelen standart tanımla örtüşmeli. Diğer iki özelliğin sağlanmasını istiyoruz çünkü bu özellikler sağlanmadan bir serinin toplamını bulmak için herhangi bir cebirsel manipülasyon yapmak mümkün değil. Hani YouTube videolarında adam seriyi kaydırıyor, sabitlerle çarpıyor, paranteze alıyor ve terim terim topluyor ya. Hah işte, o işlemlerin hepsini ilgili seriye toplam atayan metodun bu özellikleri sağladığı varsayımı altında yapıyor.

Mesela Cesaro toplamı bu özelliklerin üçünü de sağlıyor. Peki bu özellikleri sağlayan başka toplam metodları var mı?

Abel toplamı

Yazının bu bölümünde 27 yaşındayken tüberkülozdan ölen Norveçli matematikçi Niels Hendrik Abel‘in ardından isimlendirilen Abel toplamını göreceğiz.

Verilen bir $\Sigma_{n=0}^{\infty}\ a_n$ serisi için

kuvvet serisini tanımlayalım. Eğer bu kuvvet serisinin 0 etrafındaki yakınsaklık yarıçapı 1 ise ve

\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-} f(x)=L

limiti varsa, bu durumda verilen serinin Abel toplamını $L$ olarak tanımlayalım. Mesela Abel toplamı altında

olacaktır zira

kuvvet serisinin $|x|<1$ değerleri için tanımladığı fonksiyon olan

fonksiyonunun 1 noktasındaki soldan limiti $\frac{1}{4}$ . Bu noktada fark etmeniz gereken önemli bir ayrıntı bu seri için Cesaro toplamının Hölder genellemesiyle elde ettiğimiz sonucun aynısını Abel toplamıyla da elde etmiş olmamız. Aslında bu bir tesadüf değil. Eğer düzgünlük, doğrusallık ve stabillik özelliğini sağlayan bir toplam yöntemi bu seriye değer atabiliyorsa, bu durumda atadığı değer 1/4 olmak zorunda. Bunun nedeni de YouTube videolarında itiraz edilen argümanın ta kendisi.

Bu noktada tekrar vurgulama gereği duyuyorum. Bu cebirsel manipülasyon ilgili serinin değerinin 1/4 olduğunu kanıtlamıyor. Kanıtladığı şey şu: Eğer düzgünlük, doğrusallık ve stabillik özelliğini sağlayan bir toplam yöntemi bu seriye bir toplam atayabiliyorsa, bu durumda serinin toplamı 1/4 olmak zorunda. Kısaca o videolarda hasır altı edilen şey yapılan cebirsel manipülasyona izin veren ve ilgili seriye toplam atayabilen bir yöntemin var olduğunun kanıtlanması.

Yazının bu bölümünü noktalarken Abel toplamının Cesaro toplamını genelleyen bir toplam yöntemi olduğunu ve listelediğimiz üç özelliğe de sahip olduğunu belirtme gereği duyuyorum.

Başka başka…

Cesaro toplamını gördük. Bunun (aslında aynı olan) iki farklı genellemesini gördük. Abel toplamını gördük. Sonsuz serilere toplam atamak için başka yöntemler var mı?

Daha pek çok yöntem var ancak bu blog yazısında yukarıdakilerden daha fazlasını görmeyeceğiz. Bunun iki nedeni var. Birincisi, ıraksak seriler matematiğin hakkında koca koca kitaplar ve onlarca makale yazılmış bir alanı. Dolayısıyla konunun küçük bir blog yazısında “özet” geçilmesi mümkün değil. İkincisi, konunun uzmanı bir insan değilim. Şu ana kadar anlattığım yöntemler ıraksak serilere toplam atamak için bilinen en popüler yöntemler. Size daha fazlasını aktarabilmek için benim de ilgili kitapları açıp okumam gerekiyor. Dürüst olmak gerekirse, öğrenmek istediğim ve öğrenmem gereken onca başka konu varken vaktimi buna harcamak istemiyorum. Dolayısıyla yok size başka toplam yöntemi.

Konuyla ilgili daha çok şey öğrenmek istiyorsanız yukarıda yazdığım yöntemleri ve çok daha fazlasını anlatan G. H. Hardy‘nin “Divergent Series” kitabını okuyabilirsiniz. Anladığım kadarıyla konu üzerine yazılmış önemli referans kitaplardan bir tanesi bu kitap. Bu kitabı okumasanız bile ilgili Wikipedia sayfasına ve bu sayfadaki referanslara göz atarak konu hakkında araştırma yapmanız gereken kaynakları görebilirsiniz.

Yazının sonuna yaklaşırken ünlü

eşitliğine geçebiliriz. Öncelikle şunu bilmenizde fayda var. Düzgünlük, doğrusallık ve stabillik özelliklerini sağlayan hiçbir toplam yöntemi bu seriye bir toplam atayamaz. Bunun kısa bir kanıtı şu Wikipedia sayfasında bulunabilir. Demek ki bu seriye toplam atayabilecek her yöntem bu özellikleri sağlayamayacak kadar “garip” olmalı.

Bu seriye toplam atamak için Ramanujan toplamını kullanabiliriz. Bu cümleyi okuyunca az sonra Ramanujan toplamı hakkında konuşmaya başlayacağımı sanmış olabilirsiniz. Hayır, ne yazık ki konuyla ilgili bilgim an itibariyle sınırlı olduğu için kaş yaparken göz çıkartıp yanlış bilgilendirme yapmamak için sadece kaynak göstereceğim. Hardy’nin yukarıda bağlantısını verdiğim kitabının 323. sayfasından Bölüm 13.5’ten itibaren okumaya başlarsanız, bu toplam tanımının nereden geldiğini görebilirsiniz.

İlgili eşitliğe anlam vermenin başka bir yolu da Riemann zeta fonksiyonunu kullanmak. Riemann zeta fonksiyonu gerçel kısmı 1’den büyük karmaşık sayılar için

\zeta(s)=\Sigma_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

şeklinde tanımlı bir fonksiyon. Buradaki sonsuz toplam bildiğimiz standart sonsuz toplam. Gerçel kısmı 1’den küçük eşit olan $s$ değerleri içinse bu toplam yakınsak değil. Öte yandan çeşitli teknikler kullanarak bu fonksiyonu kompleks düzlemin $s=1$ hariç her noktasına fonksiyonun güzel özelliklerini koruyacak şekilde genişletmek mümkün. Bunu yaptıktan sonra da fonksiyon $-1$ noktasında tanımlı hale geliyor ve bu noktadaki değeri $\frac{-1}{12}$ oluyor. Bunu da

olarak yorumlamak mümkün. Benzer teknikler kullanılarak başka serilere nasıl toplam atandığını görmek için şu sayfayı okuyabilirsiniz.

Sözün özü

Sözün özü, ıraksak serilerle ilgili sağda solda gördüğünüz sezgi karşıtı duran eşitliklerin hepsi aslında kendi bağlamlarında doğru eşitlikler. Burada anahtar kelime bağlam.

Yazının başında matematiğin tümdengelimsel olmasını boşuna okuyucunun gözüne sokmaya çalışmadım. Birisi size ıraksak bir seri verip bu serinin toplamının ilk bakışta saçma gözüken bir değer olduğunu iddia ediyorsa, ilk yapmanız gereken şey “Burada seriye toplam atamak için hangi tanım kullanılıyor?” sorusunu sormak.

Özellikle Ekşi Sözlük’te çok görüyorum Grandi serisine ya da 1-2+3-4+… gibi serilere sonlu toplamlar atandığını görüp herhangi bir Google araması bile yapmadan “Bu saçmalık, böyle şey olmaz; o toplama S diyemezsin!” diye çıkışan tipleri. Bak canım arkadaşım, bak canım kardeşim. Üzerine en az yüz küsür yıldır çalışılan şeylere üniversitede öğrendiğin iki üç mühendislik Calculus dersiyle herhangi bir araştırma yapmadan “saçmalık” demek cahilliğin eli bayraklı önde gidenidir. Rica ediyorum yapmayın şöyle şeyler. Bu güruha lafımızı çaktığımıza göre diğer güruha geçebiliriz.

Ayrıca buradan ıraksak serileri barındıran eşitlikleri sağda solda bağlamından kopartarak kullanıp piyasa yaparak ortada çok mistik bir şey varmış gibi sunan yoldaşlara sesleniyorum. Bu güruha Numberphile de dahil. Yapmayın canım arkadaşım, yapmayın canım kardeşim. Sizin yüzünüzden insanlar matematiği saçmalık sanıyor. Farkındayım size çok ilginç gelen bir şeyle karşılaşmış durumdasınız ama bunu insanlara yaymadan önce bir araştırın. Daha sonra olayı olabildiğince kendi bağlamında sunup kaynaklar vererek insanları araştırmaya yönlendirin. Aksi halde neden $1-2+3-4+\dots=\frac{1}{4}$ olduğunu anlamadan ya da anlamaya teşebbüs etmeden bu eşitliği yazmanın ne manası var?

“Les s´eries divergentes sont en g´en´eral quelque chose de bien fatal et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune d´emonstration. On peut d´emontrer tout ce qu’on veut en les employant, et ce sont elles qui ont fait tant de malheurs et qui ont enfant´e tant de paradoxes. . . . Enfin mes yeux se sont dessill´es d’une mani`ere frappante, car `a l’exception des cas les plus simples, par exemple les s´eries g´eom´etriques, il ne se trouve dans les math´ematiques presque aucune s´erie infinie dont la somme soit d´etermin´ee d’une mani`ere rigoureuse, c’est-`a-dire que la partie la plus essentielle des math´ematiques est sans fondement. Pour la plus grande partie les r´esultats sont justes il est vrai, mais c’est l`a une chose bien ´etrange. Je m’occupe `a en chercher la raison, probl`eme tr`es int´eressant.” -Niels Hendrik Abel, 16 Ocak 1826 tarihli bir mektubundan.

Not: Bu içerik ilk kez Can Numan müstear ismiyle yayınlanmış olup kendisinden alınan izinler doğrultusunda Taner Beyter tarafından sitemize uyarlanmıştır.

Öncüller Sonucu Belirler