Doğal sayı kümeleri ile ilgili bu önermeleri benimsediğimizi varsayalım:
- (1) A, B’nin bir altkümesi ise, B daha çok elemana sahiptir.
- (2) A en az B’deki kadar elemana sahipse, 1+A’nın eleman sayısı, C’nin bir adım sağa kaydırıldığı yerde 1 + C = {1 + c : c ∈ C} olmak üzere, en az 1+B’nin eleman sayısı kadardır.
- (3) Ya pozitif tek sayılar pozitif çift sayılardan fazladır ya da pozitif çift sayılar en azından pozitif tek sayılar kadardır.
O’nun pozitif tek, E’nin pozitif çift sayıları temsil ettiğini varsayalım. B’nin eleman sayısının en az A’nınki kadar olduğunu belirtmek için A≲ B, ikisinin aynı sayıda elemana sahip olduklarını belirtmek için A ~ B yazalım. İndirgemek için, O ≲ E olduğunu varsayalım. O hâlde
(2)’den yola çıkıldığında 1 + O ≲ 1 + E olur. Ancak 1 + O = E ‘dir. Bu yüzden, O ≲ E ≲ 1 + E. Ancak 1 + E, O’nun bir altkümesi olan ve (1) ile çelişen, üçten başlayan tüm tek sayıları temsil eder. Yani O ≲ E doğru değil. Böylece (3)’ten yola çıkıldığında:
- (4) Tek pozitif sayılar çift pozitif sayılardan daha fazladır!
Elbette, kümelerin boyutlarını karşılaştıran klasik Cantorian[1] yöntemi (1)’i reddeder.
Bence Cantorian-olmayan yolun en iyi iddiası (4) numaralı sonucu benimsemesi ya da (3)’teki özel bütünlük durumunu reddetmesidir. İki durumda da, Cantorian-olmayan yolun şu sezgisel iddiayı reddetmesi gerekir:
- (5) Pozitif tek sayılar ile pozitif çift sayıların miktarı eşittir.
(2)’nin 1 + A’nın A ile eşit sayıda elemana sahip olduğunu iddia ya da ima etmediğine dikkat edelim. Çünkü bu {1,2,3,…} ve {2,3,4,…}’ün aynı sayıda elemana sahip olduğunu ima ederdi ki bu da, (1)’i merkezi sezgi olarak kabul eden tipik bir Cantorian-olmayan için döngüsel gerekçelendirme/varsayılan iddiayı ispatlanmış gibi kabul ederek çıkarımlarda bulunmak (begging the question) olacaktır. Kişi ayrıca (1)-(3)’ü sağlayan doğal sayı kümelerini karşılaştıran bir durum olup olmadığını merak edebilir: cevap ise, evet ((3) tüm doğal sayı kümelerine genelleştirilse bile).
[1] https://www.britannica.com/science/Cantorian-set-theory
Alexander Pruss – “An Argument That There Are More Positive Odd Numbers Than Positive Even Ones”, (Erişim Tarihi: 18.04.2021)
Çevirmen: Eylül Adıgüzel
