Lemmy’nin poker oynadığını ve kazanmak için ihtiyacı olan tek kartın maça ası olduğunu düşünün [1]. Normal bir desteden kart çekiyorsa maça ası çekme ihtimalini tahmin etmek kolaydır: elli ikide bir. Ama başka senaryolar da düşünebiliriz; örneğin, iki kart çekmesi durumunda maça ası ve maça iki çekmesinin ne kadar olası olduğu, ya da aynı anda iki farklı zar atıyorsa zarların toplamlarının 7 ya da 11 gelmesinin veya iki zarda da birbiriyle aynı rakamların gelmesinin ne kadar olası olduğu gibi… Bu tip olasılık durumlarına olasılık hesabını kullanarak cevap bulabiliriz.
Olasılık hesabının doğa bilimlerinde,[2] sosyal bilimlerde [3] ve felsefede [4] çok çeşitli uygulamaları vardır.
1. Gösterimler
Olasılıkta genelde 0’ın minimum, 1’in de maksimum olduğu ondalıklı gösterimler ya da kesirler [5] kullanılır. Hilesiz bir madeni para atıldığında üst yüzüne yazı gelmesi olasılığı 0.5’tir fakat paranın kare bir şekle dönüşme ihtimali 0’dır. Bunu kesirlerle de gösterebiliriz.
Bir önermenin doğru ya da yanlış olduğunu veya bir olayın gerçekleşip gerçekleşmeyeceğini açıklamak için parantez içine alınmış şekilde “P” harfini kullanırız. Bu önermeleri ya da olayları da “a” ve “b” gibi harfler kullanarak gösteririz. Örneğin “P(a)” bu şekilde bir gösterimdir.[6] İlgilendiğimiz durum bir önerme ise yalnızca sınırlı sayıda doğru önerme olduğunu, bir olaysa yalnız sınırlı sayıda olası sonuç olduğunu varsayacağız. Ve tabii mantığın temel ilkelerini kabul edeceğiz.
Daha karmaşık formüller oluşturmak için tümcesel mantıktaki [7] sembolleri kullanırız. Örneğin:
- ‘P(¬a)’: a’nın doğru olmama olasılığı.
- ‘P(a ∧ b)’: hem a hem de b’nin aynı anda doğru olma olasılığı.
- ‘P(a ∨ b)’: a veya b’nin (ya da her ikisinin de) doğru olma olasılığı. [8]
Varsayımlar:[9]
- Bütün olasılıklar 0’dan 1’e kadar olan gerçek sayılardır. Yani; Herhangi bir a önermesi için, 0 ≤ P(a) ≤ 1.
- Bir önerme kesinlikle doğruysa olasılığı 1’dir. Yani;
Kesinlikle doğru olan bir a önermesi için, P(a) = 1.[10]
- a ve b iki önerme ise ve ikisi aynı anda doğru değillerse a veya b’nin doğru olma olasılığı a ve b’nin ayrı ayrı doğru olma olasılıklarının toplamına eşittir. Yani;
Birbirinden farklı iki a ve b önermesi için P(a ∨ b) = P(a) + P(b).
- Mantıksal olarak birbirine eşdeğer olan önermeler aynı olasılığa sahiptir. Yani; Eğer a ⟛ b, o hâlde P(a) = P(b).
2. Tanımlar
A. Koşullu Olasılık
Rastgele karıştırılmış, düzgün bir kart destesinden bir kart çekildiğinde o kartın maça ası olma olasılığı nedir? Pekala, 52 farklı kart var ve yalnızca bir tane maça ası var, o hâlde olasılık 1/52 olur. Ancak örneğin, seçilen kartın –maça ası olduğunu bilmeden- siyah olduğu önceden biliniyorsa artık olasılık 1/52 olmayacaktır. Artık destede yalnız 26 siyah kart vardır ve bunların bir tanesi maça asıdır. O hâlde artık çekilen kartın maça ası olma olasılığı 1/52 değil, 1/26’dır ve bu olasılık durumuna artık koşullu olasılık denir. Maça ası çekme durumu a, siyah kart çekme durumu da b ise şunlar söylenebilir:
- ‘P(a|b)’, a ve b’nin koşullu olasılığını gösterir.
- P(b) > 0 ise P(a|b) = P(a ∧ b)/ P(b).[11]
B. İstatistiksel Bağımsızlık
Birinin doğru ya da yanlış olması diğerinin doğru ya da yanlış olma olasılığını etkilemediğinde olasılıklar, istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır. Bir zar atımının sonucunun başka bir zar atımının sonucunu etkilemesi için hiçbir neden yoktur. Ancak şöyle bir durum olabilir; bir deste kağıttan maça ası çekilmesinin olasılığı, o destedeki tüm kupaları zaten çekmiş olma olasılığına bağlıdır. Tüm kupalar çekilmiş ve deste dışında kalmışsa, yani maça asını elemeden kartların dörtte birini zaten elediyseniz, olasılık artık 1/52 değil 1/39’dur.
Dolayısıyla, tüm kupaların deste dışında kalmış olması (ancak diğer kartların destede kalmış olması) ne kadar olası ise bir sonraki kart çekme durumunda sonucun maça ası olması da o kadar olasıdır; yani iki önerme bağımsız değildir.
İki a ve b önermesi (P(b) > 0 olduğunda) ancak ve ancak P(a|b) = P(a) olduğunda birbirinden bağımsızdır.
3. Kurallar
Varsayım ve çıkarımlardan yola çıkarak birkaç kural söyleyebiliriz:[12]
Olumsuzlama (“değil” önermeleri):[13]
P(¬a) = 1 – P(a).
Örnek:
Bir destedeki kartların 0,25’i kupa ise rastgele bir kart çekim işleminde kupa olmayan bir kart çekme olasılığı da 0,75’tir.
Bağlaç (“ve” önermeleri):[14]
İki [15] olasılık için genel olarak:
P(a) > 0 olması şartıyla, P(a ∧ b) = P(a) × P(b|a).
Örnek:
Bir kavanozda ikisi mavi ve ikisi kırmızı olmak üzere dört bilye olduğunu düşünelim. Rastgele bir kırmızı bilye çekmeniz ve ardından (çektiğiniz bilyeyi değiştirmezseniz) rastgele bir mavi bilye çekmeniz olasılığı 1/2 × 2/3’e eşittir. Bir (0.5 olasılığı olan) kırmızı bilye çektikten sonra, kalan iki mavi bilyeden birini (kalan bir kırmızı bilye yerine) çekme olasılığınız 2/3’tür.
İki bağımsız olasılık için kural:
P(a ∧ b) = P(a) × P(b) (a ve b bağımsızken)
Ayrıklık (“veya” önermeleri):[16]
İki ayrı a ve b önermesi için,
P(a ∨ b) = P(a) + P(b) – P(a ∧ b).
Örnek:
Karıştırılmış normal bir destede, as veya siyah kart çekme olasılığınız, bu durumda “4/52 + 26/52 – 2/52”ye eşittir. Elli iki karttan dördü as; elli ikiden yirmi altısı siyah, ve elli ikiden ikisi hem siyah hem de astır.
Birbirinden bağımsız iki [17] olasılık için:
a ve b birbirinden farklı iken,
P(a ∨ b) = P(a) + P(b)
4. Sonuç
Olasılık hesabında daha birçok kullanışlı kural ve teorem bulunur, biz de bu yazı sonunda artık temel kuralları ve tanımları biliyoruz; bu yolla kalan kural ve teoremleri de öğrenebiliriz.
Notlar
- [1] Kayıtsızlık İlkesini kullanırız: n olasılık varsa ve herhangi bir sonucu diğerine tercih etmek için bir neden yoksa, o zaman herhangi bir sonucun olasılığı n‘de birdir.
- [2] Fisher 1959.
- [3] Courgeau 2012.
- [4] Collins 2012.
- [5] Olasılık yorumumuza bağlı olarak bu sayılar imkansız bir şeyi (‘0’) veya zorunlu olarak doğru bir şeyi (‘1’) veya kesinlikle yanlış (‘0’) veya kesinlikle doğru (‘1’) bir şeyi veya hiç gerçekleşmeyen (‘0’) veya her denemede gerçekleşen (‘1’) bir sonucu temsil edebilir.
- [6] Çoğunlukla önermelere atıfta bulunacağım, ancak söz konusu önerme belirli bir olayın gerçekleştiğini veya gerçekleşeceğini iddia edebilir. Bu şekilde, olasılık hesabımız önermelere ve olaylara uygulanabilir.
- [7] Burada bazı standart semboller seçtim ancak kullandığınız ders kitabına bağlı olarak farklı semboller görebilirsiniz. Bazı sistemler ‘ve’ anlamına gelen ‘&’ veya ‘-‘ kullanır. Bazı sistemler ‘veya’ anlamına gelen ‘||’ kullanır. Bazı sistemler ‘değil’ anlamında ‘~’ veya ‘!’ kullanır.
- [8] ‘P(a ⊃ b)’ ifadesinde olduğu gibi, “ise” gibi bir koşulun doğru olma olasılığını sorabiliriz. ‘a ⊃ b’ mantıksal olarak ‘¬(a ∧ ¬b)’ ile eşdeğer olduğundan, aşağıdaki kurallarımıza göre, P(a ⊃ b) = P(¬(a ∧ ¬b)) = 1 – P(a ∧ ¬b) = 1 – [P(a) × P(¬b|a)].
- [9] Bu varsayımlar Kolmogorov’un (1956 [1933]: § I.1) aksiyomlarına dayanmaktadır ancak bu (veya benzer) aksiyomlar artık olasılık hesabının herhangi bir temel sunumunda bulunmaktadır. Ayrıca bakınız Hacking (2001: bölüm 6) ve Hájek (2018: § 1).
- [10] Daha önce olduğu gibi, bu aslında olasılığın bir yorumuna bağlıdır. Diğer yorumlar “zorunlu olarak doğru” yerine örneğin “kesinlikle doğru” ifadesini kullanacaktır. Bkz. n. 5.
- [11] Buraya değinmemiz gerekiyor çünkü x = 0 olduğu durumda bölme işlemi tanımsız olacaktır ve koşullu olasılık bölme açısından tanımlanır.
- [12] Bunu burada kanıtlamamıza gerek yok, ancak kanıtları herhangi bir olasılık ders kitabında okuyabilirsiniz. Bu kurallar ve bazı kanıtlar için örneğin Hacking’e (op. cit.) bakınız. Tabii bunları kendiniz de çözebilirsiniz.
- [13] Bu, üçüncü varsayımdan kaynaklanmaktadır. Bkz. n. 9.
- [14] Bunlar, koşullu olasılığın tanımının yanı sıra temel önerme-mantık aksiyomlarından, örneğin bağlacın birleştirici olmasından kaynaklanır. Bkz. n. 9.
- [15] Genel kural (ikiden fazla olasılığı içerecek şekilde): Bazı önerme kümeleri için {a,b,c,…y,z}, a ve b ve … y ve z’nin doğru olma olasılığı, a’nın doğru olma olasılığı çarpı, -a doğru olduğu sürece- b’nin doğru olma olasılığı çarpı, -a ve b doğru olduğu sürece- c’nin doğru olma olasılığı çarpı, …çarpı -a,b,c … y doğru olduğu sürece- z’nin doğru olma olasılığına eşittir.
- [16] Bunlar dört varsayımdan kaynaklanmaktadır. Bkz. n. 9.
- [17] Rastgele n sayıda olasılık için genel kuralı basit terimlerle açıklamak zordur, ancak iki ayrık (“veya” ile ayrılanlar) için olan model ile benzerdir: tüm teker teker olasılıkları topla, sonra iki önermeli bağlaçların (“ve” ile ayrılanlar) olasılıklarını çıkar, sonra üç önermeli bağlaçların olasılıklarını ekle, sonra dört önermeli bağlaçların olasılıklarını çıkar ve bu şekilde n’ye kadar devam et.
Referanslar
- Collins, Robin. 2012. “The Teleological Argument: An Exploration of the Fine-Tuning of the Universe,” The Blackwell Companion to Natural Theology’de, düzenleyen: William Lane Craig and J. P. Moreland (Oxford: Blackwell), 202-281.
- Courgeau, Daniel. 2012. Probability and Social Science: Methodological Relationships Between the Two Approaches. Dordrecht, Heidelberg, London, ve New York: Springer.
- Fisher, Ronald A. 1959. “Mathematical Probability in the Natural Sciences.” Technometrics 1 (1): 21-29.
- Hacking, Ian. 2001. An Introduction to Probability and Inductive Logic. Cambridge, UK: Cambridge University Press.
- Hájek, Alan. 2018. “Interpretations of Probability.” In E. N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Summer 2018 Edition, URL = < https://plato.stanford.edu/archives/sum2018/entries/probability-interpret/>
- Kolmogorov, A. N. 1956 [1933]. Foundations of the Theory of Probability, Second Edition. Tr. Nathan Morrison. New York, NY: Chelsea Publishing Company.
Teşekkür
- David Bulies ve editörlere yazıma yapmış oldukları yapıcı yorumlar için teşekkürlerimi sunuyorum.
İleri Okuma
- Interpretations of Probability – Thomas Metcalf
- The Problem of Induction – Kenneth Blake Vernon
- Pascal’ın Kumarı: Tanrı’ya İnanç İçin Pragmatik Bir Argüman – Liz Jackson
Yazar hakkında
Tom Metcalf, Mobile, AL’deki Spring Hill College’da doçent olarak görev yapmaktadır. Felsefe doktorasını Colorado University, Boulder’dan almıştır. Etik, metaetik, epistemoloji ve din felsefesi alanlarında uzmanlaşmıştır. Tom’un isimleri Hesperus ve Phosphorus olan iki kedisi vardır. http://shc.academia.edu/ThomasMetcalf
Thomas Metcalf – “The Probability Calculus“, (Erişim Tarihi: 08.07.2022)
Türkçeye Çeviren: Arda Batın Tank
Çeviri Editörü: Beyza Nur Doğan
