Matematiksel Platonculuk, matematiksel nesnelerin nasıl davrandığımız, nasıl düşündüğümüz, neler konuştuğumuz ve neler yaptığımızdan yani bizden bağımsızca var olduğunu ileri süren bir yaklaşımdır. Bu haliyle de matematiğin metafiziğini açıklamaya yönelik en etkili ve eski girişimlerden biridir.
Bu yazıda, Matematiksel Platonculuğun genel bir tanımını vererek bu yaklaşımı açıklamaya çalışacağız. Platonculuğu, yalnızca matematikle sınırlamayacak ve Platonculuk ile Platon’un çalışmaları arasındaki ilişkiyi de göz önüne alacağız. Ardından ise Frege’nin Matematiksel Platonculuk lehine geliştirdiği ve böylesi bir yaklaşım adına öne sürülen en etkili argüman olduğu yaygın biçimde kabul gören argümana yakından bakacağız. Son olarak ise Matematiksel Platonculuğa yöneltilen farklı türden eleştirileri ele alacağız.
Matematiksel Platonculuğun Ana İddiası
Matematiksel Platonculuk, matematiksel nesnelerin insan eylemleri, düşüncesi ve dilinden bağımsız olarak var olduğunu savunur. Dolayısıyla bu yaklaşım için, matematiksel nesnelerin insanlar tarafından inşa veya icat edilmek yerine keşfedildiği veya bulunduğu şeklindeki görüştür diyebiliriz. ‘Matematiksel nesne’ derken teknik veya komplike bir şeye atıfta bulunmayıp matematiksel terimlerle tanımlanabilen herhangi bir şeye atıfta bulunulduğunu belirtmekte fayda var. Bu çok basit bir görüş gibi görünse de aslında aldatıcıdır. Öncelikle, bir şeyi icat etmekten ziyade keşfetmenin tam olarak ne olduğu o kadar da basit bir konu değildir.
Bir şeyi keşfetmek ile onu bizim icat etmemiz (yani kendi ellerimizle yaratmamız) arasında kesin bir ayrım olmayabilir. Bu husus bilhassa matematikçilerin oldukça yakından ilgilendiği “kavramsal nesneler” söz konusu olduğunda kendini gösterir. Fiziksel bir nesnenin insan etkisi veya müdahalesi olmadan var olabileceğini söylerken epey emin hissederiz (ki bu bile oldukça tartışmalıdır).
Matematiğin Metafiziği
Matematiksel Platonculuk, metafiziksel bir yaklaşım olmasından ötürü de epey çetrefillidir. Neyin tam anlamıyla metafizik sayılacağı kesinlikle tartışmaya açıktır; fakat genel anlamda söylersek metafizik, bilginin koşullarının ne olduğu gibi temelde epistemolojik olan meselelerden ziyade şeylerin gerçekte nasıl olduğuyla ilgili bir alandır. Bundan ötürü de Matematiksel Platonculuk, matematiksel nesneleri nasıl bildiğimiz konusundan ziyade onların gerçekte ne olduğuna dairdir. Buna rağmen matematiksel nesnelerin ne olduğu sorusunu onları nasıl bildiğimizden tümüyle ayrılamaz gibi duruyor; dolayısıyla tarihsel açıdan bakarsak Matematiksel Platonculuk tarafından dile getirilen metafiziksel görüş, matematiksel nesnelerin doğrudan veya dolaysız bilgisine dair iddialara da bağlanmıştır. Bu var olan tek epistemolojik yaklaşım değildir, 20. yüzyılın en etkili Analitik filozoflarından biri olmanın yanı sıra ateşli bir Matematiksel Platoncu da olan W.V.O Quine, matematik söz konusu olduğunda ampirik temelli bir kavrayışa sahipti, ona göre matematiğe ilişkin bilgimiz doğrudan değil deneyim yoluyla birikiyordu. Matematik yaparken ne yaptığımızı her yönüyle ve tastamam açıklamak için metafiziksel görüşün ötesine geçmek gerekecektir, ama bunu yapmak için bu yazıda çok yerimiz yok.
Matematiksel Platonculuğun Sonuçları
Matematiksel Platonculuğu benimsemenin göz önünde tutulması gereken bir bir dizi sonucu vardır; bunların başında ise Fizikselci bir dünya görüşüyle ilişkili sonuçlar yer almaktadır. Fizikselcilik, en temelde, dünyanın yalnızca dünyaya ilişkin ve içkin fiziksel gerçekler açısından açıklanabileceğini savunur. Matematiksel Platonculuk, matematiksel nesnelerin gerçek olduğu görüşüdür ve matematiksel nesnelerin fiziksel olmaktan ziyade kavramsal olduğu göz önüne alındığında, bu durum, mevcut fiziksel gerçekliğin doğru/tam bir açıklamasında fiziksel olmayan gerçeklerin de bu açıklamanın bir parçası olduğu anlamına geliyor gibi duruyor.
Konu matematiksel bilgi üretiminin en tutarlı, en bilimsel ve en güvenli alanı olma konusuna geldiğinde Matematiksel Platonculuk epey güçlü bir iddiadır. Diğer yandan, her ne kadar onun adını taşısa dahi Matematiksel Platonculuğun Platon’un matematik hakkında söylediği ve düşündüğü şeylerle pek bir ilgisi olmadığını hatırlatmakta fayda var. ‘Platonculuk’ – matematik dışındaki konu ve şeylerde de kullanılan bir terim olarak, basitçe, belirli bir şeyin bizden bağımsız olarak var olduğunu iddia eden konsepttir. Platon bu anlamda bir ‘Platonist’ti, fakat bugün ‘Platonizm’ Platon’un kendisinin yapmayacağı biçimlerde ve farklı şeylere uygulanır.
Frege’nin Matematiksel Platonculuk Lehine Argümanı
Konu Matematiksel Platonculuk olduğunda belki de en çok tartışılan argüman Platon’un kendisinden değil, bizzat Gottlob Frege’den gelmiştir. Frege bugünün en etkili matematikçilerinden, mantıkçılarından ve dil filozoflarından biri olmaya devam etmektedir ve Matematiksel Platonculuk yaklaşımı da aynı şekilde güncelliğini korumaktadır.
Frege’nin argümanı iki önermeye dayanır. Bunlardan ilki ‘Klasik Semantik’ denilen şey yani “matematiğin dilinin tekil terimlerinin matematiksel nesneleri göstermesi, birinci-derece nicelemelerin ise bu nesneler üzerinden yapılması” şeklindeki savunudur. İkincisi ise, matematiğin doğruluğuna dairdir: “Matematiksel teorem olarak kabul edilen ifadelerin çoğu (sözdizimsel ve anlamsal yapılarına bakılmaksızın) doğrudur .” Bu ilk iddia Frege’nin de açıkça benimsediği üzere matematiğin mahiyetine dair bir anlayışa sahip olmayı gerektirir; ki matematiğin dilinin gerçekten dil olduğu iddiasına dayanır ve bu dillerin bileşenlerinin kabaca doğal dillerle aynı şekilde anlamlı olduğu görüşünü benimser.
Şimdilik, böylesi bir iddianın lehine olarak söylenebilecek şey, matematiğin bu türden bir tasvirinin pek çok matematikçi tarafından makul görülmesidir; matematik dilleri ile doğal diller (yani İngilizce veya İtalyanca gibi gündelik hayatta konuştuğumuz diller) arasında benzerlik kurmak yalnızca Frege’nin tuhaf bir tutumundan ibaret değil. Tabi ki ikinci öncül söz konusu olduğunda pek çok tartışma ve argüman mevcut, fakat biz şimdilik bu yazıdaki amaçlarımız açısından, her ne kadar asıl nedeni konusunda anlaşamasalar dahi çoğu felsefecinin yaptığı gibi, bunun doğru olduğunu varsayacağız.
Ontolojik Bağlılık
Fregeci argümanın, bu iki öncülden Matematiksel Platonculuğun doğruluğuna doğru geçişini ‘Ontolojik Bağlılık’ adı verilen bir konsept aracılığıyla gerçekleştirdiği açık görünüyor. ‘Ontolojik Bağlılık’ı anlamanın farklı türden yolları mevcuttur; fakat bu konseptin aslı kısaca, bir ifadenin, o ifadenin doğru olması için varsayılması gereken nesnelere ontolojik olarak bağlı olduğu şeklindedir.
Matematiksel ifadelerin, bu şekilde müstakil olarak (bağımsızca) var olan matematiksel nesnelere (ontolojik açıdan) bağlı olduğunu iddia ettiğimizde, karşımıza yeni bir seçenek sunuluyor gibi duruyor: Ya matematiksel ifadelerin doğruluğuna yönelik önermeyi reddedeceğiz (ki bu çoğu filozofun tercih etmek isteyeceği yol değildir) ya da matematiksel nesnelerin varlığını ve dolayısıyla da Matematiksel Platonculuğun doğruluğunu kabul edeceğiz.
Matematiğin Bağımsızlığı (Müstakilliği)
Fark edeceğiniz üzere matematiksel nesnelerin bağımsız olmasının tam olarak ne anlama geldiğine henüz değinmedik. Felsefeciler bu iddiayı genellikle, zeki varlıklar hiç var olmasaydı matematiğin mahiyetine dair bir şeyin farklı olup olmayacağı veya değişip değişmeyeceğini sorarak; yani karşı-olgusal (counterfactual) bir şekilde kavrarlar. Böylesi bir karşı-olgusal soruşturma yürüttüğümüzde, bağımsızlık koşulunu reddetmenin niçin zor olduğunu görmek kolaydır. Öncelikle şunu söylemek gerek; insanlığın, ayırt etmek için gerekli olan bilinç veya zekayı geliştirmemiş olması halinde matematiksel doğrularının tümüyle farklı olacağı düşüncesinde çok temel bir mantıksızlık mevcuttur. Hakeza, matematikçiler genellikle hipotetik olana (yani aktüel olmayana) yönelik akıl yürütmeler gerçekleştirirler. E.N Zalta bu hususu şöyle dile getirmektedir: “Pür matematiğin doğrularına karşı-olgusal akıl yürütmelerimiz aracılığıyla özgürce başvurulabildiğinden dolayı, söz konusu bu doğruların biz insanlardan ve diğer tüm akıllı yaşamlardan karşı-olgusal olarak bağımsız olduğu sonucu çıkar.”
Matematiksel Platonculuğa Yönelik İtirazlar
Şu ana dek ele alındığı biçimiyle Matematiksel Platonculuk sezgisel açıdan oldukça makul görünebilir. Şayet insanlar hiç var olmasaydı matematiksel nesnelerin de var olmayacağı fikri, matematikçi olmayanların gözüne tuhaf görünebilir. Bununla birlikte, Matematiksel Platonculuğa karşı, bazıları sadece biraz daha gevşetilmiş hale getirme çabaları bazıları ise açıkça reddetme anlamına gelen pek çok itiraz vardır.
Sözünü ettiğimiz bu itirazların bazıları oldukça tekniktir ve matematikçi olmayanlar için Matematiksel Platonculuğun doğurduğu problemleri daha karmaşık hale getirir. Buna rağmen, bir itiraz bu yazımızın başında değinilen tümüyle felsefi bir meseleyle ilgilidir: epistemolojik problem ve bu problemin metafizikle ilişkisi. Buradaki soru şudur: Matematiksel nesneleri nasıl bilebiliriz?
Bu türden bir itiraz Paul Benacerraf tarafından öne sürülmüştür. Benacerraf’ın itirazının kısa bir versiyonu şöyledir: Matematikçiler tarafından ulaşılan/çıkarsanan sonuçlar güvenilirse ve bu güvenilirliği de açıklayabilmemiz gerekiyorsa, Matematiksel Platonculuk doğru olamaz. Bu son önerme birdenbire alakasız bir şekilde ortaya çıkmış gibi görünse de acele etmemek gerekir; Matematiksel Platonculuğun, matematiksel varlıkları uzay ve zamanın dışında var olan bir şey olarak kabul ettiği ve dolayısıyla da bizden nedensel olarak yalıtılmış olmaları gerektiği iddiasına dayandığı göz önüne alınınca bu itiraz daha iyi anlaşılabilir. Yine de, güvenilirliğin nedensel bir şekilde tanımlanıp açıklanması gerektiği açık değildir. Matematikçilerin ulaştığı sonuçlarını hangi anlamda güvenilir kabul edeceğimiz, matematikçilerin ilk etapta yaptıkları şeye dair varsaydığımız tanımımız tarafından belirlenecektir. Güvenilirlik tanımımız matematik tanımımızdan yola çıkmalıdır, tersi yoldan değil.
Luke Dunne – “Mathematical Platonism: Is Mathematics Found or Made?“, (Erişim Tarihi: 15.04.2023)
Çevirmen: Taner Beyter
