Alan Turing, 1939 yılında Cambridge’de, Ludwig Wittgenstein’ın “Foundations of Mathematics” derslerine katıldı. Şu ifadeler, söz konusu bu derslerin biriyle ilgilidir:
1939 yılında, Cambridge’de birkaç dönem boyunca Ludwig Wittgenstein matematiğin felsefi temelleri üzerine ders vermişti. Bununla birlikte, Wittgenstein tarafından verilen derslerden biri, pek ders gibi değildi. Sınıfın bir kısmı sandalyelerde, diğer kısmı yerde otururken o ise odanın ortasındaki bir sandalyeye oturmuştu. Hiç not kullanmadı. Bir sorunu çözerken sık sık bazen birkaç dakika olmak üzere duraklıyordu. Dinleyicilerine sürekli sorular sorar ve yanıtlarına cevap verirdi. Bu buluşmaların çoğu büyük ölçüde sohbetten ibaretti.
Bu girişimle ilgili olarak Alan Turing (1912-1954), Ludwig Wittgenstein‘ın matematikçilerin ve filozofların matematiksel sistemlerde çelişkilerin var olmasına memnuniyetle izin vermesi gerektiği argümanına şiddetle karşı çıkmıştı.
Temel açıdan Wittgenstein iki şeyi vurgulamıştı:
- Matematik içindeki çelişkileri kabul etmek ile matematik dışındaki çelişkileri kabul etmek arasında ayrım çizgisini kalın bir şekilde çekmek.
- Söz konusu bu matematiksel çelişkiler ile paradoksların matematik dışındaki uygulamaları ve sonuçları.
Wittgenstein yukarıdaki 1 nolu durumla ilgili olarak, (Andrew Hodges tarafından alıntılandığı üzere) şöyle demişti:
İnsanlar çelişkilerden niçin korkar ki? Matematik dışındaki durumlarda, tanımlamalarda vb. şeylerde çelişkilerden neden korkmaları gerektiğini anlaşılabilir fakat soru şu: Matematiğin içindeki çelişkilerden niçin korksunlar?
Wittgenstein’ın aslında, söz konusu bu paradoksların ve metateoremlerin mantıksal geçerliliğini veya statüsünü sorgulamadığı şeklinde bir okuma olabilir. O, matematik dışındaki kabul edilmiş olan – sayısız – uygulamalar ile bunların sonuçları hakkında tamamen felsefi bir noktaya değiniyordu. (Bu sonuçlar her zaman olmasa da çoğunlukla bilinç, Tanrı, insan sezgisi, evren, insanın eşsizliği, din, yapay zeka aleyhine argümanlar, anlam, amaç vb. şeylerle ilgili şeyleri içerir.)
Böylece Wittgenstein’ın matematiksel çelişkiler ve paradokslar konusundaki pozisyonu, büyük ölçüde (genellikle böyle adlandırılır) onun matematiksel insanmerkezciliğine dayanıyordu: Yani matematiğin aslında bir insan icadı olduğu inancına. Daha somut söylersek, Wittgenstein “orta dönem”indeyken “biz matematik yapıyoruz” demişti; bir süre sonra ise matematiği “icat ettiğimizi” söyledi.
Bu durumda, Wittgenstein’ın açık bir şekilde bir anti-Platonist olduğu görebiliriz. Bundan dolayı şunu söylemesi de sürpriz değil.
matematikçi bir kaşif değil, bir mucittir.
Hatta Geç Dönem Wittgenstein’ı şunu söyleyecek kadar da ileri gitmişti:
“Fermat önermesinin ispatı keşfedilmek için değil, icat edilmek içindir denilirse daha iyi olur”.
Wittgenstein’ın anti-Platonizm’ini ifade ettiği çok somut bir başka yol ise, “Var olan herhangi iki nokta arasına düz bir çizgi çizilebilir, hiç kimse çizmemiş olsa dahi bu çizgi vardır.” iddiasını kabul etmenin yanlış olduğunu vurgulamasıydı. Sonuç olarak Wittgenstein, (çoğu kişinin komik bulabileceği) “satranç yalnızca keşfedilmek zorundaydı, çünkü zaten her zaman oracıkta duruyordu!” şeklindeki ironik bir kıyaslama bile yapmıştı.
Tekrar çelişkiler ve paradokslara dönelim.
Yukarıda işaret ettiğimiz tüm şeylere göre şayet matematik bir insan icadıysa, o halde (matematiğin içindekilerde dahil olmak üzere) tüm çelişkiler ve paradokslar bize bağlı olmalıdır. Ve eğer bize bağlılar ise; o halde bu durumda bize (Turing’in köprüsü de olmak üzere) fiziksel dünyaya dair veyahut platonik bir sayılar dünyası hakkında hiçbir şey söylemiyorlardır – çünkü bu türden bir şey dahi yoktur. Yine de Wittgenstein’ın paradokslar, Gödel teoremleri, matematiksel çelişkiler, vb. konulara dair görüşlerinin büyük bir kısmı farklı yorumcular tarafından neredeyse (kendi tabirimle) doğası gereği dar görüşlü olarak görülmüştür (Wittgenstein’ın Gödel teoremleri hakkında söylediklerine dair çok şey yazılıp çizildi; okumak için tıklayın).
Yalancı Dil Oyunu
Wittgenstein, tüm paradoksların en ünlüsü olan Yalancı Paradoksu‘nu alır ve Turing ile yaptığı bir tartışmada şunları söyler:
Yalancı paradoksunu düşünün: O, herkesi şaşırtmış olması bir bakıma oldukça tuhaf; düşündüğünüzden çok daha olağandışı… Çünkü olay şu şekilde işler: Eğer bir adam ‘yalan söylüyorum’ derse, bundan onun yalan söylemediği sonucunun çıktığını söyleriz, fakat bundan da yalan söylediği çıkar, vb. E nolmuş yani? Bunu yorulana dek devam ettirebiliriz. Peki niçin durum böyle olmasın ki? Bunun pek bir önemi yok … çünkü bu yalnızca işe yaramaz bir dil oyunu ve bu birilerini niçin heyecanlandırsın ki?
İlk bakışta; Wittgenstein’ın Yalancı Paradoksu’na – ve genellikle matematiğin temelleri olarak adlandırılan şeye yönelik diğer paradoksların çoğuna – atıfta bulunmak için (kendi) felsefi terimi olan “dil-oyunu”na başvurmakta tümüyle haklı olduğu görülüyor (Daha açık söylemek gerekirse, bu paradoksların farklı türden dil oyunları sonucu ortaya çıktığı görülmüştür).
Ne de olsa Yalancı paradoksu, bu tür bir öz-referansa izin veren bir dilin (yani oyunun) içinde bulunur. Sahiden, “Bu cümle yanlıştır” ifadesini başka hangi dilde (oyunda) görürdünüz ki? (Gündelik bir dile ait bir çeviri olduğu farz edilse bile – “Ben yalancıyım” (I am a liar.) bu biraz yapmacık görünüyor.) Bu ifadeler kesinlikle gündelik dillere ait değil, bundan dolayı da belirli bir teknik dil oyununa ait olmalıdırlar (Mesela Gödel ifadeleri gibi) (Elbette gündelik dil; kişinin “Ben mutluyum” dediğinde olduğu gibi yalnızca kendisine atıfta bulunduğu – apaçık?- çelişkiler veya paradokslar yaratmayan başka tür öz-göndergelere de izin verir.)
Bu açıdan bakıldığında Wittgenstein’ın pozisyonu, Yalancı dil oyununun bir çelişki ya da paradoks sergilemekten (ya da paradoks noktası olmaktan) ziyade, daha çok bir çelişki ya da paradoks yarattığı şeklinde özetlenebilir.
Wittgenstein, özünde, Yalancı Paradoksu’nun yapaylığına işaret ediyordu. Fakat bu yapaylık, otomatik olarak paradoksun bize sunacak hiçbir şeyi olmadığı anlamına da gelmiyor. Bu anlamda “yapaylık” kelimesinin olumsuz bir ton içermesi gerekmez. Basitçe bu kelime, yapay olan bir şeye referans olabilir. Ama diğer yandan, Wittgenstein bu kelimeyi tamamen olumsuz bir şekilde kullanmıştır. Ne de olsa ona göre, Yalancı paradoksu “yalnızca işe yaramaz bir dil oyunu”ndan ibaretti.
Diğer yandan Alan Turing ise tamamen entelektüel nedenlerle Yalancı Paradoksu’na ilgi duyuyor gibiydi. (Her ne kadar köprüler ile daha sonra ilgilenecek olsa da) Şöyle cevap veriyordu:
Asıl şaşırtıcı olan şey, insanın, genellikle yanlış bir şey yapmak adına bir çelişkiyi ölçüt olarak kullanmasıdır. Fakat bu durumda da yanlış olan bir şey kalmıyor ortada.
Temel olarak Turing, diğer birçok çelişki örneğinden farklı olarak Yalancı Paradoksu’nun yalnızca basit bir çelişki ortaya çıkarmadığını; hem x’in hem de x olmayanın kabul edilmesi gerektiği durumunu ortaya koyduğunu iddia ediyordu.
Yani, (Giritli) bir yalancının “Ben yalan söylüyorum” ifadesi, konuşan kişinin aynı anda hem yalancı hem de yalancı olmayan yaptığı şeklinde yorumlanmasına yol açarsa, o halde “bu durumda ortada yanlış olan bir şey kalmamıştır”. Wittgenstein’ın buna verdiği yanıtı tahmin etmek zor değil, şöyle söylemişti:
Evet, ve hatta bundan da fazlası; yanlış olan hiçbir şey yok.
(En azından görülebildiği kadarıyla) Wittgenstein’ın argümanı, Yalancı Paradoksu’nun gerçekten de böylesi tuhaf bir sonuca yol açtığıydı, çünkü zaten paradoks bunu yapmak için tasarlanmıştı. Yani Yalancı Paradoksu, spesifik bir paradoks yaratmak için tasarlanmış olan bir dil oyununun parçasıdır. Ve bu kendi içine dönük, kapalı ve yapay bir dil oyunu olduğunda dolayı da, Wittgenstein böyle bir çelişkiye veya paradoksa izin verme durumunda “ne zararı var ki?” diye de sormuştu.
Alan Turing’in Köprüsü
Demin Alan Turing’in Yalancı Paradoksu’yla tamamen formel nedenlerle ilgileniyor gibi görünüyor demiştik. Fakat sonrasında Turing söyle söylemişti:
“Köprünün yıkılabileceği veya buna benzer bir uygulama olmadığı müddetçe hiçbir zarar olmayacaktır. [] İçinde hiçbir gizli-saklı çelişki olmadığından emin olana dek, hesaplamanızı uygulamaya koyma konusunda emin olamazsınız.”
En azından görünüşe göre, Turing’in Yalancı Paradoksu’nun bir köprünün yıkılmasına neden olabileceğinden şüphelenmiş olması biraz tuhaf görünüyor. Yani Turing (biraz kabaca olsa da) tasarımında kullanılan matematiğin bir kısmı bir şekilde Yalancı Paradoksu’nda olduğu gibisinden bir paradoksu (veya bir çelişkiyi) içerirse; bir köprünün yıkılabileceğine inanıyordu. Yine de bırakın bir köprü inşa etmeyi ve sonra da o köprünün yıkılmasını; Yalancı Paradoksu’ndan herhangi bir türden pratik (veya somut) matematik uygulamalarına giden kesin bir rotayı hayal etmek bile zor. Aslında pek çok (pür) matematikçi, bu paradoksal ve temel şeylerin çoğunun yaptıkları şeylerle tümüyle alakasız olduğunu sıklıkla fark etmişlerdir. Bundan dolayı da eğer birçok matematikçi için alakasızlarsa, o halde köprülerinin tasarımında matematiği kullanan tasarımcılar için kesinlikle daha da alakasız olacaktır.
Bu meta-matematik ve matematik karşıtlığı uygulamaları, matematikçi ve fizikçi Alan Sokal tarafından iki bölümde özetlenmiştir. Sokal, ilk olarak, “metateoremler” ve “geleneksel matematik teoremleri” arasındaki farkı şu şekilde vurgular:
Gödel teoremi veya küme teorisindeki bağıntısızlık teoremleri gibi matematiksel mantıkta yer alan meta-teoremler, geleneksel matematik teoremlerinden biraz farklı olan mantıksal bir statüye sahiptir.
İşte tam da bu önemli farklılıktan dolayı Sokal şöyle devam ediyor:
“Fakat, matematiğin bu seçkin dallarının, matematiksel araştırmaların büyük kısmı üzerinde çok az etkisinin olduğu ve doğa bilimleri üzerinde neredeyse hiçbir etkisinin olmadığı vurgulanmalıdır.”
O halde bu tür metateoremlerin (retorik bir şekilde söylersek) “doğa bilimleri üzerindeki etkisi” neredeyse sıfırsa, bu durumda köprülerin tasarımı üzerinde etkileri kesinlikle sıfırdan daha azdır. Fakat buna rağmen, Yalancı Paradoksu’nun somut bir tezahürünün nasıl olabileceğini görmek zor. Belki de Turing’in argümanı, böyle somut bir tezahürün /veya elle tutulur bir somut durumun) olamayacağı yönündedir. Böyle olduğu apaçık; çünkü böyle bir tezahür olsaydı o zaman bazı köprüler yıkılırdı! Peki ya Wittgenstein’ın böylesi bir akıl yürütmeye verdiği yanıt ne olacaktır? Wittgenstein, Turing’e “fakat hiçbir şey henüz böyle ters gitmedi” diyerek yanıt vermişti. Yani matematikteki bir paradoks veya çelişkiden ötürü henüz hiçbir köprü yıkılmamıştır.
Patlama Prensibi
Daha önce de ima edildiği üzere yukarıda söylediklerimizin tümü, Patlama İlkesi olarak adlandırılan şeyin somutluğu ve tasarımıyla ilgili tezahürlerini tahmin eden Alan Turing’e dek uzanır. Yine de Turing’in aslında tam olarak hangi sonuca vardığını fark eden Wittgenstein’dı. Şöyle demişti:
“Diyelim ki [birini] Yalancı Paradoksu’na inandırdım ve sonrasındaki bu kişi şöyle dedi ki: ‘Yalan söylüyorum, öyleyse yalan söylemiyorum, öyleyse yalan söylüyorum ve yalan söylemiyorum, o halde bu durumda bir çelişkimiz var, öyleyse 2×2 = 369’…”
Diğer bir deyişle, “Bir çelişkiden her şey çıkar”. veya Wittgenstein’ın kendi ifadesiyle söylemek gerekirse:
Eğer şu ifadeyi kabul edersek;
“Yalan söylüyorum, öyleyse yalan söylemiyorum, o halde yalan söylüyorum ve yalan söylemiyorum…”
bu durumda bu denklemi de kabul etmeliyiz:
2 x 2 = 369
Fakat Wittgenstein, “2×2=369” durumunda, “buna kesinlikle ‘çarpma işlemi’ demememiz gerektiğini” savundu ve bunda da kesinlikle haklıydı. Ama yine de söz konusu bu işlemin sonucu, Yalancı Paradoksu’nun geçerliliğini kabul etmenin mantıksal bir sonucu olarak görülüyor. Son olarak ise Wittgensteincı bir tarzda, 2 x 2’nin (veya belki daha doğru bir ifadeyle “2 x 2″nin) gerçekten 369’a (veya “369”a) eşit olduğu bir dil (oyunu) icat etmekte de özgür olduğumuz söylenebilir.
Paul Austin Murphy– “When Alan Turing and Ludwig Wittgenstein Discussed the Liar Paradox“, (Erişim Tarihi: 20.11.2021)
Çevirmen: Taner Beyter
