Kipli (Modal) Mantık: Kipli Mantığa Dair Aksiyomlar ve Sistemler – Thomas Metcalf

//
5 Okunma
Okunma süresi: 26 Dakika

Felsefi argümanlar, Tanrı’nın var olduğu ya da özgür iradeye sahip olduğumuz aslında doğru mudur gibi, genellikle [bu tartışmaların] aslında ne olduğu hakkındadır.

Fakat genel olarak bir şeyin mümkün ya da zorunlu (öyleyse yanlış olmazdı)[1] olup olmadığı hakkında da konuşmak isteriz.

Standart mantığın özel bir uzantısına atıfta bulunmak için “kipli mantık” kavramını kullanırız (“kip”, bir şeyin doğru veya yanlış olabileceği farklı kipler ya da yollar anlamına gelir).[2] Zorunluluğun ve mümkünlüğün doğruluğu ve yanlışlığı, kipli mantığın konusudur.[3]

Bu makale, kipli mantığa bir giriş niteliğindedir.

1. Kipli Kavramlar

Kipli kavramlar, bu bağlamda,[4] olasılık ve zorunluluk gibi kavramlardır.[5]

  • Eğer bir önerme zorunlu olarak doğruysa, o halde muhtemelen yanlış değil, doğru olmalıdır. Belki de tüm karelerin dört kenarı olduğu önermesi, zorunlu olarak doğrudur.
  • Eğer bir önermenin doğruluğu imkansızsa, o halde doğru değildir. Belki de 3 > 5 önermesinin doğruluğu imkansızdır.
  • Eğer bir önermenin doğruluğu mümkünse, o halde doğru olabilir. [Örneğin] Güneş sisteminde on iki gezegen olduğu önermesi doğru olabilir (aslında öyle olmasa da).

2. Sembolik Mantığa Kip Eklemek

Standart (kipli olmayan) önermeler mantığında, cümleleri, (“A” ve “B” gibi harflerle kısaltılır) “değildir” ve “eğer … o halde …” gibi sabit şeylerle birbirine bağlayıp bağıntılar oluştururuz.[6] Olasılığı, imkansızlığı ve zorunluluğu açık bir şekilde adlandırmak içinde bazı özel sabitlere ihtiyacımız vardır. En yaygın olarak kullanılanlar kutu (“□”) ve elmastır (“◊”). Kutu “zorunlu”, elmas ise “mümkün” anlamına gelir.[7]

Yani “1+2=3” cümlesini sembolize etmek istiyorsak sadece “M”, ancak 1+2=3’ün zorunlu olarak doğru olduğunu söylemek istiyorsak, “□M” şeklinde yazabiliriz. [Benzer şekilde] Eğer tek bir boynuzlu atın var olduğunu söylemek istiyorsak “U”, ancak tek bir boynuzlu atın var olabileceğini mümkün olarak yazmak istiyorsak “◊U” şeklinde yazabiliriz.

3. Temel Kipli-Mantık Aksiyomları

Bazı yeni sembollerimiz olsa bile, onları nasıl kullanacağımızı eğer bilmiyorsak, bize bir faydası bulunmamaktadır. [Bu durumda] Bir dizi aksiyomda seçmemiz gerekir:[8] [yani] bize hangi formüllerin hangisinden türetilebileceğini söyleyen temel önermeler.

“Zorunlu” ve “mümkün” anlamlarını göz önünde bulundurduğumuzda, birini diğeriyle tanımlayabilmemiz mümkündür. Nitekim “¬” “değildir” anlamına ve “↔” “ancak ve ancak” anlamına geliyorsa, bundan sonra herhangi bir formül φ için (kutular veya elmaslar içerebilir):[9]

(İkili)[10]

□φ ↔ ¬◊¬φ

◊φ ↔ ¬□¬φ

¬□φ ↔ ◊¬φ

¬◊φ ↔ □¬φ

Örneğin, “zorunlu olarak değildir” ve “mümkündür” aynı iddiayı içerisinde barındırır. Bu aksiyomların dördünü de “(İkili)” olarak adlandırabiliriz. Çünkü bunlar “◊” ve “□” arasındaki ikilikten yararlanırlar: [yani] formüllerin nasıl bir diğeriyle eşdeğer formüllere çevrilebileceğine ilişkindirler.

Doğru görünen bir diğer aksiyom, eğer bir formül varsayımları (yani ne olursa olsun) takip etmiyorsa, o halde zorunlu olarak doğru olacağına ilişkindir:

(N) Eğer φ bir teorem ise (yani, sistemde koşulsuz olarak doğru veya hiçbir varsayıma dayanmaksızın doğruysa), o halde □φ bir teoremdir.

Örneğin, dünya hakkında başka ne olursa olsun, herhangi bir φ için; eğer φ ise o halde φ gibidir. Dolayısıyla □(φ → φ) sonucuna ulaşabiliriz.

Şu aksiyomda doğru görünür:[11]

(K) □(φ → ψ) → (□φ → □ψ)

Örneğin, eğer 5 > 3 ise 3 < 5 zorunlu olarak doğruysa, o halde 5 > 3 olması ve 3 < 5 olması, zorunlu olarak doğrudur. Fakat φ zorunlu olarak doğru değilse, o halde ψ zorunlu olarak doğru olmayabilir. Örneğin, bütün karelerin dört kenarı olması zorunlu, ancak bunları içeren binanın kare olması zorunlu değilse, o halde binanın dört kenarı olması zorunlu olarak doğru değildir.

Bir diğer aksiyom:[12]

(M) □φ → φ

Sezgisel olarak doğru olması gereken her şey doğrudur.

4. Daha Fazla Kipli Mantık Aksiyomları ve Sistemleri

Sadece (ikili), (N), (K) ve (M)’yi içeren bir kipli mantık sistemine sahip olabilirdik.[13] Ancak bu eksik olurdu. Çünkü doğru öncüller verilse bile, sistem içinde kanıtlayamadığımız doğru sonuçlar da olabilir.

Bu sebeple sistemimize, başka aksiyomları da dahil etmek isteyebiliriz:[14]

(B) φ → □◊φ

(4) □φ → □□φ

(5) ◊φ → □◊φ

Bunlar, daha tartışmalı aksiyomlardır. Örneğin (B) aksiyomu, eğer bir şey zorunlu olarak doğru olabilecekse, o halde doğrudur demektir.[15] Fakat bunun neden böyle olacağı başlangıçta açık değildir. Benzer şekilde bir şeyin mümkün olması, onun imkânsız olamayacağı anlamına mı gelir? Aksiyom (5)’in buna cevabı “evet”dir.

5. Sistemler ve Aksiyomlar

Kabul ettiğimiz aksiyomlar, hangi sistemi kullanacağımızı belirler. İşte burada hangi aksiyomların hangi sistemlere göre doğru olduğunun bir özeti (aksiyomlar parantez içinde, sistemler kalın harflerle yazılmıştır):

 (İkili), (N) ve (K)(M)(B)(4)(5)
KEvetHayırHayırHayırHayır
M ya da TEvetEvetHayırHayırHayır
BEvetEvetEvetHayırHayır
S4EvetEvetHayırEvetHayır
S5EvetEvetEvetEvetEvet

Sisteminiz ne kadar çok aksiyom içerirse, o kadar çok argümanı geçerli sayar ve o kadar çok kanıtlayabilir. Fakat doğru olmayan bir aksiyom kullanırsanız, ortaya çıkan sistem sağlam olmayabilir ve sizi doğru öncüllerden yanlış sonuçlara götürebilir. Bu ideal değildir. Nitekim bir mantık sistemine sahip olmanın amacı, bunun olmamasını sağlamaktır.[16]

Bu aksiyomlardan hangisinin (eğer varsa) aslında doğru olduğu, olasılıkların diğer olasılıkları nasıl etkilediğine bağlıdır. Bu karmaşık ama ilginç bir konudur.[17]

6. Sonuç

Kipli mantıkta[18] olduğu kadar, birçok kipli olmayan mantık sisteminde de[19] başka yararlı sistemler vardır.

Bununla birlikte, filozoflar, kendi başına “kipli mantık” derken, genellikle burada açıklanan aksiyomların bir kısmını veya tamamını içeren bir kipli mantık sistemine atıfta bulunurlar.


Dipnotlar

  • [1] Genel olarak kiplik hakkında daha fazla bilgi için bkz. Andre Leo Rusavuk; Olanaklılık ve Zorunluluk: Modaliteye Giriş – Kipsel iddiaları nasıl bilebileceğimiz veya makul olarak inanabileceğimize dair bir tartışma için bkz. Bob Fischer, “Kipsel/Modal Epistemoloji: Zorunlu & Mümkün Bilgi.”
    Felsefi argümanlara gelince, örneğin etikteki birçok argümanın zorunlu bir gerçek olduğunu iddia eden öncüller içerdiği söylenebilir. Bu ahlaki iddiaların çoğu, eğer doğru, zorunlu olarak doğruysa, durum böyle olabilir. Bazı E kanıtlarının, bazı arka plan bilgileri, K veriliyken bazı H hipotezlerini doğrulayıp doğrulamadığına dair gerçekler zorunlu doğrularsa, epistemolojideki argümanlar için de benzer bir şey söylenebilir. Ayrıca eğer doğruysalar, metafizikteki birçok iddianın da zorunlu olarak doğru olduğu düşünülebilir. Bu doğrultuda daha fazla bilgi için bkz. Thomas Metcalf, “Felsefe ve Bilim’le Farklılığı” ve “Felsefe Nedir?
  • [2] Standart mantık hakkında daha fazla bilgi için bkz. Thomas Metcalf, “Formal Logic: Symbolizing Arguments in Sentential Logic”, Timothy Eshing, “Formal Logic: Symbolizing Arguments in Quantificational or Predicate Logic” ve ayrıca Açık Mantık Projesi (https://openlogicproject.org/).
  • [3] Bu deneme, kipli mantık, yani şeylerin doğru veya yanlış olabileceği farklı yollarla ilgili mantık hakkındadır. Başlıkta sıradan okuyuculara ilgi çekici gelmeyecek bu terimi kullanmak yerine, mümkün ve zorunluluklardan açıkça bahsetmeyi seçtim. Mümkün ve zorunlulukla ilgili olmayan birçok başka kipli mantık türü vardır; örneğin yükümlülük ve izin, bilgi ve zaman hakkında kipli mantıklar vardır (Garson, 2022). Ayrıca kipli mantığın normalde birinci dereceden mantığın bir uzantısı olarak kabul edildiğine dikkat etmeniz gerekir, ancak meseleleri aksi istikamette de yorumlayabilirsiniz (van Benthem, 2010, 27).
  • [4] Buradaki bağlam bir kiptir. Bkz. 3 numaralı dipnot.
  • [5] Mümkün dünyalar hakkında konuşmak klasiktir, ancak sıradan okuyucular için kafa karıştırıcı olabilir. Bazı kimseler mümkün dünyaları paralel evrenler gibi bir şeyle karıştırabilir (David Lewis (2001). Bu sebeple dipnot dışında bu konu hakkında konuşmaktan kaçındım.
  • [6] Ayrıca bkz. Thomas Metcalf, “Formal Logic: Symbolizing Arguments in Sentential Logic”, Timothy Eshing, “Formal Logic: Symbolizing Arguments in Quantificational or Predicate Logic”.
  • [7] Bkz. Garson (2022). Diğer yazarlar, Jan Lukasiewicz’den alınan simgelere dayanarak “L” ve “M” sembollerini kullanmışlardır (Hughes ve Cresswell 1996, 14-15).
  • [8] Bir aksiyom, tartışılabilir veya gerekçelendirilebilir (bir sisteme belirli bir aksiyomun eklenmesinin, onu yeterince güçlü kılmak için zorunlu olduğu iddia edilebilir) olmasına rağmen, verili olarak aldığımız bir önermedir. Bunları maddi koşullu ve iki koşullu olarak belirtiyorum (varsayımsız bir doğal tümdengelim sisteminde yeni bir satıra girilebilir), ancak aksiyomun bize söylediği bir doğal tümdengelim sistemimiz de olabilir. Yani bir satırda öncüle sahip olarak, sonucu yeni bir satırdan çıkarabiliriz. Sonuçta, eğer Δ ∪ { φ } ⊢ ψ (yani, Δ setindeki varsayımları ve φ formülünü içeren varsayımlar kümesi)  formül ψ’yi içeriyorsa, o halde bu sistemde φ → ψ şunlardan ileri gelir: Δ kümesi. Bu gerçek, Kesinti Teoremi’nden kaynaklanır (bkz. Franks, 2021).
  • [9] Açıkça ifade etmemiz gerekirse, bu formüllerin “doğru” olmayacağın” unutmamanız gerekir. Çünkü bunlar bağlanmamış meta-değişkenleri içerisinde barındırırlar (“φ” önerme değişkenlerini temsil eder, bunlar değişkenlerin değişkenleridir, bu yüzden onlara “meta-değişkenler” diyoruz). Böylelikle hepsini “tüm formüller için φ, …” gibi bir niceleyici olarak düşünebilirsiniz (bkz. Timothy Eshing, “Formal Logic: Symbolizing Arguments in Quantificational or Predicate Logic”). Ayrıca bunlar, her zaman aksiyom olarak belirtilmez (bazen sadece tanım olarak belirtilirler), ancak bunları açıkça aksiyom olarak tanımlamanın bir zararı olduğunu düşünmüyorum.
  • [10] Bu eşitliklere bazen “ikililer” veya “ikilikler” denir (van Benthem, 2010, bölüm 2.1).
  • [11] Bu sistem, kipli mantığın geliştirilmesine en önemli katkıda bulunanlardan biri olan Saul Kripke’nin ismini almıştır. Bkz. Kripke (1959 ve 1963) ve Lemmon ve Scott (1977, 29). Bunları ardışık yerine koşullu olarak belirttim. Çünkü aksiyomlardan bahsettiğimiz için, bunları (koşulları), yeni satırlar (hiçbir varsayıma dayalı olmayan) olarak doğal bir tümdengelim ispatında öneriyorum. Bununla birlikte, oku bir turnike (“⊢” sembolü) ile değiştirirseniz, (kabaca) “mantıksal sistemimizde bunu zorunlu kılar” anlamına gelir ve bir satırda sol taraf verilirse, muhtemelen sıralı olarak da iş görürler. Sıralamaların verildiğinde sistemde neyin kanıtlanabileceğine dair meta-mantık sorusuyla ilgili olduğu, koşulluların ise sistemde neyin doğru olduğuna dair nesne dili sorusuyla ilgili olduğu iddia edilebilir. Burada üzerinde durmamıza gerek olmayan bir anlaşmazlık bulunur (Church, 1996, 165); daha fazlası için Klement’e (n.d., §§ 5-6) bkz. (K) içermeyen kipli mantık sistemlerini hayal edebileceğimizi de ekliyorum; bunlardan bazıları “normal olmayan” kipli mantıklar olarak adlandırılır (Priest, 2012, 3).
  • [12] Bu aksiyom, erişilebilirlik dönüşlü olduğunda, yani her dünya kendine göre mümkün olduğunda doğru olacaktır. Hangi dünya aktüel olursa olsun, o dünya da mümkün olacaktır. Eğer öyleyse, o halde başka bir yararlı gerçek formül “φ → ◊φ” olacaktır. Bu sezgiseldir. Kesinlikle gerçekten doğru olan her şey muhtemelen doğrudur. Daha önce olduğu gibi, burada φ, kendi kutularını ve elmaslarını içerebilir, bu nedenle bu aksiyom göz önüne alındığında, “□□φ → □φ”, “□φ → ◊□φ” vb. gibi gerçek formülleri temsil eder.
  • [13] Ortaya çıkan sistem bazen “M” veya “T” olarak isimlendirilir (Garson, 2022, 2).
  • [14] (B) aksiyomu, erişilebilirlik simetrik olduğunda doğru olacaktır: Yani w2 dünyası, w1’e göre mümkün olduğunda, w1 ve w2 dünyaları için, w2’ye göre mümkün olacaktır. Eğer öyleyse, başka bir yararlı gerçek formül “◊□φ → φ” olacaktır. (4) aksiyomu, erişilebilirlik geçişli olduğunda doğru olacaktır: yani w3 dünyası, w2’ye göre mümkünse ve w2, w1’e göre mümkünse, w3, w1-w3 dünyaları için w1’e göre mümkün olacaktır. Eğer öyleyse, başka bir yararlı gerçek formül “◊◊φ → ◊φ” olacaktır. Aslında herhangi bir ◊s dizisi (yalnızca bir ◊ dahil), herhangi bir ◊s dizisi ile değiştirilebilir ve herhangi bir □s dizisi (yalnızca bir □ dahil), herhangi bir □s dizisi ile değiştirilebilir. M verildiğinde, herhangi bir □s dizisinin bir □ ile değiştirilebileceğini ve herhangi bir ◊’nin herhangi bir ◊s dizisi ile değiştirilebileceğini hatırlayın (Garson, 2022, § 2). Böylelikle M ve (4) ile herhangi bir sembolün herhangi bir uzunluktaki bir dizisini, o sembolün herhangi bir uzunluğundaki bir dizi ile değiştirebilirsiniz. Örneğin, “◊φ → ◊◊◊φ” ve “□◊φ → □□□□□◊φ”, herhangi bir formül φ için doğru olacaktır. (5). aksiyom, erişilebilirlik Öklidyen olduğunda doğru olacaktır: yani eğer w2 ve w3 dünyaları, w1, w2 ve w3 dünyaları, herhangi bir w1-w3 dünyası için, birbirlerine göre de mümkün olacaktır. (İkili) aksiyomlarında olduğu gibi, bunların her biri için ikili teoremler olduğuna dikkat edin: (B İkili) ◊□φ → φ; (4 İkili) ◊◊φ → ◊φ; ve (5 İkili) ◊□φ → □φ. Bu ikilileri “teoremler” olarak adlandırıyorum, ancak onları kendi aksiyomları olarak tanıtabiliriz. Gerçekten de bazıları “orijinal” aksiyomlardan (B), (4) ve (5) daha sezgisel olabilir.
  • [15] Yani (B) aksiyomu artı (İkili) aksiyomları aşağıdaki teoremi gerektirir: (B İkili) ◊□φ → φ. (B) verildiğinde, ¬φ ise □◊¬φ. Verilen (İkili), □◊¬φ → ¬◊□φ.
  • [16] Garson (2022, 2). “S4” ve “S5” isimlerini, Lewis ve Lankford’dan (1932, 501) alıyoruz. M’ye (B) ve (4) veya (5)’i ekleyerek S5’i oluşturmayı tanımladığıma dikkat edin. Ancak (B), (4) ve (5) S5’te doğru olacaktır. Yani (B), (4) ve (5) ekleyerek S5 elde edebilirsiniz. (B), (4) ve (5)’in doğruluğu için Ö5’in sağlamlığı yeterlidir.
  • [17] Sistemde kanıtlanabilen her şey doğru olduğunda sistem sağlamdır. Sistemde her doğru ifade kanıtlanabilir olduğunda bir sistem tamamlanır. Bkz. Daha fazlası için Garson (2022, 6).
  • [18] Bkz. dipnot 12, 14 ve 16
  • [19] Örneğin bu diğer sistemler, kiplik çeşitlerinin farklı metafizik ya da fiziksel yasalar tarafından yönetildiğini düşündüğümüz için faydalı olabilir. Eğer öyleyse, o halde bu sistemlerden birinin metafiziksel olarak mümkün olan için sağlam ve eksiksiz olduğunu, fiziksel olarak mümkün olan için bir başkasının sağlam ve eksiksiz olduğunu düşünebiliriz. Modalite çeşitleri hakkında daha fazla bilgi için bkz. Kment (2022).

Kaynakça

  • Church, A. (1996). Introduction to Mathematical Logic. Princeton University Press.
  • Franks, C. (2021). The deduction theorem (before and after Herbrand). History and Philosophy of Logic, 42(2), 129–159.
  • Garson, J. (2022). Modal logic. In E. N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Summer 2022 Edition
  • Hughes, G. E. and Creswell, M. J. (1996). A new introduction to modal logic. Routledge.
  • Klement, K. C. (N.d.). Propositional logic. In J. Fieser and B. Dowden (Eds.), Internet Encyclopedia of Philosophy. 
  • Kment, B. (2022). Varieties of modality. In E. N. Zalta (Ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2022 ed.).
  • Kripke, S. A. (1959). A completeness theorem in modal logic. Journal of Symbolic Logic, 24(1), 1-14.
  • Kripke, S. A. (1963). Semantical analysis of modal logic, I. Mathematical Logic Quarterly, 9(5-6), 67-96.
  • Lemmon, E. J. & Scott, D. (1977). The “Lemmon Notes”: An Introduction to Modal Logic. Basil Blackwell.
  • Lewis, D. (2001). On the Plurality of Worlds. Wiley.
  • Lewis, C. I. & Langford, C. H. (1932). Symbolic Logic. Century Company.
  • Open Logic Project. (N.d.). Open Logic Project. Open Logic Project.
  • Priest, G. (2012). An Introduction to Non-Classical Logic. Cambridge University Press.
  • Simons, P. (2022). “Jan Łukasiewicz.” In E. N. Zalta (Ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2022 ed.).
  • Van Benthem, J. (2010). Modal Logic for Open Minds. CSLI Publications.

Thomas Metcalf – Modal Logic: Axioms and Systems for Alethic Modal Logic”, (Erişim: 30.10.2022)

Çevirmen: Musa Yanık


Bir cevap yazın

Your email address will not be published.

Önceki Gönderi

Kitap Analizi: Madde ve Bilinç (Zihin Felsefesine Güncel Bir Bakış) – Taner Beyter

En Güncel Haberler Analitik Felsefe:Tümü